[論文レビュー] New approach to Schensted-Knuth normal forms

Yuqun Chen, Jing Li|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2011

Advanced Topics in Algebra被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、任意のアルファベット上で、行と列の生成子を用いた、プレアック代数の新しい代数的枠組みを導入する。アルファベットが有限の場合、列生成子を用いた場合に有限のグレブナー＝シルショフ基底が存在することを確立する。コンポジション・ダイヤモンド補題を適用することで、ヤング盤が線形基底をなすことを証明し、Knuthの結果であるヤング盤がプレアックモノイドにおける正規形であるという事実の、新しい代数的証明を提供する。

ABSTRACT

We present the plactic algebra on an arbitrary alphabet set $A$ by row generators and column generators respectively. We give Grobner-Shirshov bases for such presentations. In the case of column generators, a finite Grobner-Shirshov basis is given if $A$ is finite. From the Composition-Diamond lemma for associative algebras, it follows that the set of Young tableaux is a linear basis of plactic algebra. As the result, it gives a new proof that Young tableaux are normal forms of elements of plactic monoid. This result was proved by D.E. Knuth \cite{Knuth} in 1970, see also Chapter 5 in \cite{M.L}.

研究の動機と目的

• 行および列生成子を用いたプレアック代数の新しい提示の開発。
• 列生成子を用いたプレアック代数におけるグレブナー＝シルショフ基底の確立。
• ヤング盤がプレアック代数の線形基底をなすという事実の代替的代数的証明の提供。
• この基底が、Knuthが元来示したように、プレアックモノイドの正規形に対応することの証明。

提案手法

• 任意のアルファベット A 上で、行生成子および列生成子を用いてプレアック代数を提示する。
• 列生成子を用いた代数的提示に対してグレブナー＝シルショフ基底を構成する。
• 結合的代数におけるコンポジション・ダイヤモンド補題を適用して、代数の構造を分析する。
• すべてのヤング盤の集合が、プレアック代数の線形基底をなすことを示す。
• アルファベットの有限性を用いて、列生成子を用いる場合にグレブナー＝シルショフ基底が有限であることを保証する。
• コンポジション・ダイヤモンド補題から得られる正規形の性質を活用し、基底がヤング盤からなることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プレアック代数は、行および列生成子を用いて効果的に提示可能か？
• RQ2 アルファベットが有限で、列生成子を用いる場合に、プレアック代数に対して有限のグレブナー＝シルショフ基底が存在するか？
• RQ3 コンポジション・ダイヤモンド補題は、プレアック代数の線形基底を導出するためにどのように適用可能か？
• RQ4 この新しい代数的アプローチにより、ヤング盤の集合がプレアック代数の線形基底をなすか？
• RQ5 この方法は、プレアックモノイドにおけるヤング盤の正規形性質の新たな証明を提供できるか？

主な発見

• プレアック代数は、任意のアルファベット A 上で、行および列生成子を用いた提示を許容する。
• アルファベット A が有限である場合、列生成子を用いた提示に対して有限のグレブナー＝シルショフ基底が存在する。
• コンポジション・ダイヤモンド補題により、ヤング盤の集合がプレアック代数の線形基底をなすことが示される。
• これにより、ヤング盤がプレアックモノイドの要素の正規形であるという事実の、新たな代数的証明が得られる。
• この結果は、非可換グレブナー＝シルショフ理論を用いたより構造的な代数的枠組みの中で、Knuthの元来の発見を確認する。