[論文レビュー] New arcs in projective Hjelmslev planes over Galois rings

Kiermaier, Michael, Axel Kohnert|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、27以下の順序をもつ適切なガロア環上の射影ヘルムスレーヴ平面における最大弧の計算的探索を、関連するディオファントス系のサイズを削減するための所定の自己同型群を用いて行う。この手法により、既知のF₄線形コードよりも高い最小距離を持つ、新しい非線形四値コードの構成が可能となり、特に[504,6,376]コードが、同パラメータの既知のF₄線形コードを上回り、弧のサイズに関する下界を顕著に改善する。

ABSTRACT

It is known that some good linear codes over a finite ring (R-linear codes) arise from interesting point constellations in certain projective geometries. For example, the expurgated Nordstrom-Robinson code, a nonlinear binary [14,6,6]-code which has higher minimum distance than any linear binary [14,6]-code, can be constructed from a maximal 2-arc in the projective Hjelmslev plane over Z_4.

研究の動機と目的

• 順序≤27の適切なガロア環Rに対する射影ヘルムスレーヴ平面における最大弧のサイズに関する下界を改善すること。
• 特にZ₂₅およびG₁₆上で、これらの平面における弧のグレイ像を用いて新しい非線形コードを構成すること。
• 群作用と格子点数え上げに基づく計算手法を発展・適用し、このような弧の探索を実行可能にする。
• F₄上での既知の線形コードよりも高い最小距離を持つ非線形コードの存在を探索すること。
• 対称性削減とディオファントス方程式の解法を用いて、射影(n,u)-弧およびマルチアームを体系的に構成すること。

提案手法

• 著者らは、ガロア環R上の射影ヘルムスレーヴ平面PHG(2,R)の接続行列を用い、弧の問題を0/1係数の線形ディオファントス不等式系としてモデル化する。
• GL(3,R)内の自己同型群を所定で指定することで、同じ軌道にある点と直線を統合し、接続行列のサイズを縮小し、計算に耐えうるサイズにまで縮小する。
• 縮小されたディオファントス方程式系は、LLLアルゴリズムに基づく格子点数え上げを用いて解かれ、射影的弧に対応する0/1解が得られる。
• 一部の弧に対しては、1点を追加することでより大きな弧が得られるかを確認するための拡張アルゴリズムが適用されるが、その際u-共線性条件が破られないかを検証する。
• 構成された弧にグレイ等長写像を適用し、F₄上での非線形コードを取得し、Griesmer下界を用いて最小距離を検証する。
• 本手法はZ₈、Z₉、G₁₆、Z₁₆、Z₂₅、Z₂₇のガロア環に適用され、点集合および直線集合のサイズは最大1053までである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序≤27の適切なガロア環Rに対して、PHG(2,R)における射影的(n,u)-弧の最大サイズは何か？
• RQ2 自己同型を保つ対称性を用いた弧の構成は、ヘルムスレーヴ幾何における最大弧の探索における計算複雑性を低減できるか？
• RQ3 構成された弧のグレイ像は、F₄上での既知の線形コードよりも優れた最小距離を持つ非線形コードをもたらすか？
• RQ4 PHG(2,Z₂₅)における最大の既知の(n,u)-弧は何か？ これは既知の射影的弧のサイズを超えるか？
• RQ5 軌道統合から得られるマルチアームは、同じ幾何における既知の最良の射影的弧を上回るサイズになるか？

主な発見

• 著者らは、Z₂₅上のPHG(2,Z₂₅)における256点16-弧のグレイ像を用いて、新しい非線形四値[504,6,376]-コードを構成した。このコードは、同パラメータの既知のF₄線形[504,6]-コードよりも高い最小距離を有する。
• [504,6,376]コードは距離不変であり、線形であるならばF₄上に[128,5,94]-コードが存在することを意味するが、そのようなコードは既知ではないため、このコードは線形にはなり得ない。
• PHG(2,Z₂₅)に対して、155点8-マルチアームが構成され、既知の最良の射影的弧よりも7点大きい。
• 本稿では、RがZ₈、Z₉、G₁₆、Z₁₆、Z₂₅、Z₂₇であるPHG(2,R)におけるすべてのu-弧について、最大弧のサイズに関する下界が改善された。多くの項目はアsterisk(*)で示され、改善を示している。
• PHG(2,Z₂₅)において、288点12-弧が発見され、u=12の場合のこの幾何における最大の既知の射影的弧となった。
• PHG(2,Z₂₇)に対して、1053点36-弧が構成され、理論的上限に達しており、したがって最大である。