[論文レビュー] New Binomial Bent Function over the Finite Fields of Odd Characteristic

Tor Helleseth, Alexander Kholosha|ArXiv.org|Jul 20, 2009

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、奇数の特徴を持つ有限体上に、新しいクラスの二項ベント関数を導入し、特にGF(p⁴ᵏ) 上で f(x) = Tr₄ₖ(x^{p³ᵏ + p²ᵏ − pᵏ + 1} + x²) と定義される関数が弱く正則なベント関数であることを証明し、その Walsh 変換係数の正確な閉形式表現を導出する。証明は、有限体上の指数和の高度な技術とトレース関数の性質に依拠しており、明示的なスペクトル特性を持つ、新しい種類のベント関数族を確立する。

ABSTRACT

The $p$-ary function $f(x)$ mapping $\mathrm{GF}(p^{4k})$ to $\mathrm{GF}(p)$ given by $f(x)={ m Tr}_{4k}\big(x^{p^{3k}+p^{2k}-p^k+1}+x^2\big)$ is proven to be a weakly regular bent function and the exact values of its Walsh transform coefficients are found. The proof is based on a few new results in the area of exponential sums and polynomials over finite fields that may also be interesting as independent problems.

研究の動機と目的

• 奇数特徴を持つ有限体上に、p-値のベント関数の新しい族を構成し、特徴付けること。
• 関数 f(x) = Tr₄ₖ(x^{p³ᵏ + p²ᵏ − pᵏ + 1} + x²) が n = 4k のとき弱く正則なベント関数であることを証明すること。
• この関数の Walsh 変換係数の正確な値を計算すること。
• 主な証明を支援する、有限体上での指数和および多項式トレース恒等式に関する新しい結果を確立すること。

提案手法

• 証明は、特に C(a) = Σₓ ω^{Trₙ(x + a x^{(p²ᵏ+1)/2})} の形をとる指数和を含む、GF(pⁿ) 上のトレース関数と指数和に依拠する。
• 二次的特徴と円分同値性の性質を適用し、Walsh 変換を部分体上の和に結びつける。
• 原始元を用いた代入技術と、GF(p²ᵏ) への p²ᵏ + 1 対 1 対応を用いた写像を含む。
• 指数和に関する [3, 定理 3] を活用し、根の分布を分析するために補助関数 T₊(b², x) と T₋(b², x) を導入する。
• トレース恒等式と対称性の議論、特に変換 u → −u の下での性質を用いて、Walsh 係数の構造を特定する。
• Walsh 係数が Sf(b) = −p²ᵏ ω^{Trₖ(x₀)/4} であることを確立し、ここで x₀ は特定のトレース方程式の GF(pᵏ) 内の唯一の解である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数特徴を持つ有限体上に、新しいクラスの二項ベント関数を構成できるか？
• RQ2 関数 f(x) = Tr₄ₖ(x^{p³ᵏ + p²ᵏ − pᵏ + 1} + x²) は n = 4k のとき弱く正則なベント関数か？
• RQ3 この関数の Walsh 変換係数の正確な値は何か？
• RQ4 Walsh 係数は、部分体上のトレース関数を用いて閉形式で表現できるか？
• RQ5 このようなベント関数の構成と分析を支援する、新しい指数和恒等式は存在するか？

主な発見

• 関数 f(x) = Tr₄ₖ(x^{p³ᵏ + p²ᵏ − pᵏ + 1} + x²) は、任意の奇素数 p に対して GF(p⁴ᵏ) 上で弱く正則なベント関数であることが証明された。
• Walsh 変換係数 Sf(b) は正確に −p²ᵏ ω^{Trₖ(x₀)/4} であり、ここで x₀ は方程式 bp²ᵏ⁺¹ + (b² + x)^{(p²ᵏ⁺¹)/2} + bpᵏ(p²ᵏ⁺¹) + (b² + x)^{pk(p²ᵏ⁺¹)/2} = 0 の GF(pᵏ) 内の唯一の解である。
• b² ∈ GF(p²ᵏ) のとき、解 x₀ は x₀ = −Tr₂ₖᵏ(b²) に簡略化され、Sf(b) = −p²ᵏ ω^{−Trₖ(Tr₂ₖᵏ(b²))/4} となる。
• 証明は、トレース関数と二次的特徴を含む指数和に関する新しい結果を確立し、特に部分体トレース写像の文脈で有効である。
• この方法により、Walsh 係数の大きさが p²ᵏ であることが示され、これはベント性と整合的であり、位相は基本体 GF(pᵏ) 内の唯一の解によって決定される。
• この構成により、弱く正則でない二項ベント関数の最初の既知の例が得られたが、この特定の関数は弱く正則である。