[論文レビュー] New Bound Closed Orbits in Spherical Potentials

Dimitris M. Christodoulou, Demosthenes Kazanas|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2017

Astro and Planetary Science被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、ニュートン・ケプラー、フック、線形ポテンシャルという球対称ポテンシャル内において、解析的に導かれた境界あり、閉じた、非楕円型の軌道を提示している。これらはニュートンの定理およびベルトラの定理に反する。これらの軌道は、円形平衡点の両側で非対称な径方向振動を示し、周囲の周波数が同期しないが、エネルギー保存則と連続性によって制約を受け、初期条件によって一意に決定されるパラメータを持つ。

ABSTRACT

We present new families of bound, closed, nonelliptical orbits that are supported by various spherical potentials in clear contradiction to Newton's and Bertrand's theorems. We calculate analytically some typical closed orbits of arbitrarily large amplitudes for the spherically symmetric forms of the Newton-Kepler, Hooke, and linear potentials. In all cases, the radial oscillations of the orbits exhibit unequal amplitudes and nonsynchronous frequencies on either side of a circular equilibrium orbit. These parameters are however related through energy conservation and orbit continuity across the equilibrium orbit. The constraints placed on the parameters are all localized to each particular orbit and depend crucially on the chosen initial conditions.

研究の動機と目的

• 球対称ポテンシャル内での閉じた軌道に関するニュートンの定理およびベルトラの定理が課す古典的制限に挑戦すること。
• 標準的なケプラー的または調和的形状とは異なる、球対称ポテンシャル内に束縛され、非楕円的で閉じた軌道が存在するかを調査すること。
• エネルギー保存則と軌道の連続性が、こうした軌道のパラメータに与える制約を明らかにすること。
• 非対称な径方向振幅と非同期周波数を持つ軌道が、解析的に閉じており束縛されていることを示すこと。
• これらの軌道が初期条件によって完全に決定され、制約が個々の軌道に局在化していることを確立すること。

提案手法

• 球対称ポテンシャル内における径方向振動の運動方程式を解析的に解くこと：ニュートン・ケプラー、フック、線形ポテンシャル。
• エネルギー保存則を適用して、円形平衡軌道をはさんで径方向振幅と振動周波数を関連付けること。
• 軌道の連続性を平衡半径で強制することで、軌道が閉じており滑らかに保たれることを保証すること。
• 初期条件にのみ依存するパラメータの制約を導出し、軌道が束縛されかつ閉じたまま保たれることを保証すること。
• 対称性と連続性の議論を用いて、周波数が同期しない非対称な振動を持つ軌道を構築すること。
• 1周期の後に初期位相と位置に戻ることを保証することで、非同期な径方向運動であっても軌道が閉じていることを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー保存則に違反せずに、球対称ポテンシャル内に束縛され、閉じており非楕円的な軌道が存在しうるか？
• RQ2 エネルギー保存則と軌道の連続性が課す制約によって、閉じた軌道内での非同期な径方向振動が可能になるか？
• RQ3 初期条件が、こうした非楕円的閉じた軌道のパラメータをどの程度一意に決定するか？
• RQ4 これらの新しい軌道族において、平衡点の両側での径方向振幅と周波数はどのように異なるか？
• RQ5 こうした軌道は、古典力学におけるニュートンの定理およびベルトラの定理の帰結にどのように挑戦するか？

主な発見

• この論文は、ニュートン・ケプラー、フック、線形ポテンシャル内に、古典的定理に反する新しい閉じた非楕円型軌道の族を特定した。
• これらの軌道は、円形平衡軌道の両側で不等しい径方向振幅と非同期な振動周波数を示す。
• エネルギー保存則と平衡半径における軌道の連続性が、各個々の軌道の軌道パラメータを完全に制約する。
• 振幅と周波数の制約は各軌道に局在化しており、選択された初期条件にのみ依存する。
• 任意の大きな振幅に対しても解析的解が導かれ、非対称性が存在しても軌道の存在と閉じていることの確認がなされた。
• 結果として、閉じた軌道が対称的または同期的な径方向運動を示さなくてもよいことが示され、球対称ポテンシャル内での安定束縛軌道の既知のクラスが拡張された。