[論文レビュー] New bounds for equiangular lines and spherical two-distance sets

Wei-Hsuan Yu|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2016

Mathematical Approximation and Integration参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、記号的半正定値計画緩和を用いて、ℝⁿにおける等角線の新たな上界を確立し、任意の整数 a ≥ 3 および n ∈ [a²−2, 3a²−16] の次元において、角度 arccos(1/a) を持つ等角線の最大本数が ½(a²−2)(a²−1) 以下であることを証明している。これらの上界は無限に多くの次元に適用可能であり、球面上の2距離集合へも拡張され、n ≤ 417 までに既知の結果を改善している。

ABSTRACT

A set of lines in $\mathbb{R}^n$ is called equiangular if the angle between each pair of lines is the same. We derive new upper bounds on the cardinality of equiangular lines. Let us denote the maximum cardinality of equiangular lines in $\mathbb{R}^n$ with the common angle $\arccos α$ by $M_α(n)$. We prove that $M_{\frac 1 a} (n) \leq \frac 1 2 ( a^2-2) ( a^2-1)$ for any $n \in \mathbb{N}$ in the interval $a^2 -2 \leq n \leq 3 a^2-16$ and $a \geq 3$. Moreover, we discuss the relation between equiangular lines and spherical two-distance sets and we obtain the new results on the maximum spherical two-distance sets in $\mathbb{R}^n$ up to $n \leq 417$.

研究の動機と目的

• 無限に多くの次元にわたるℝⁿにおける等角線の最大本数に関する新たな上界を導出すること。これは有限の場合に限定されない。
• 等角線と球面上の2距離集合との間の関係を確立し、後者に関する上界をn=417まで拡張すること。
• 凸最適化ソフトウェアに依存せずに、半正定値計画の記号的緩和を用いて手計算可能な上界を提供すること。
• n=14, 16, 19, 20, 42 などの次元において、特定の線集合が存在しないことを証明することで、等角線構成における未解決事項を解消すること。
• 大規模なnに対して、ℝⁿにおける等角線の最大サイズが、最も近い奇数の逆数角度によって決定されることを支持する予想を提示すること。

提案手法

• CVXなどの数値ソルバーに依存しない記号的半正定値計画緩和を導出する。
• 等角線構成に関連する行列不等式に緩和を適用し、次元の区間全体にわたる有効な上界を導出する。
• a ≥ 3 および n ∈ [a²−2, 3a²−16] に対して、SDP制約の代数的変形から得られる上界 M₁/ₐ(n) ≤ ½(a²−2)(a²−1) を用いる。
• 等角線と球面上の2距離集合との双対性を活用し、一方の問題に関する上界を他方へ移転する。
• 相対的上界式 fₐ(n) = n(1−a²)/(1−na²) を用い、nおよびaにおける単調性を証明することで、区間優位性を正当化する。
• 既知の上界および先行研究（例：[7], [14]）からの数値的検証をn=400まで実施して結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限に多くの次元におけるℝⁿにおける等角線の数に関する、最もタイトな上界は何か？
• RQ2 記号的半正定値計画緩和は、数値ソルバーに依存せずに手計算可能な上界をもたらすことができるか？
• RQ3 等角線に関する上界は、ℝⁿにおける球面上の2距離集合の最大サイズとどのように関係するか？
• RQ4 どの次元nにおいて、Gerzon上界 M(n) = n(n+1)/2 が達成不可能であり、その近傍の構成が存在しないことを証明できるか？
• RQ5 奇数の逆数に基づく普遍的な上界パターンが、nの広い区間で有効であるか？

主な発見

• 任意の整数 a ≥ 3 および n ∈ [a²−2, 3a²−16] に対して、角度 arccos(1/a) を持つ等角線の最大本数は ½(a²−2)(a²−1) 以下である。これは新たな無限族の上界を提供する。
• a=3（角度 arccos(1/3)）に対して、7 ≤ n ≤ 11 の次元で M₁/₃(n) ≤ 28 が得られ、既存の知識を改善する。
• a=5 の場合、23 ≤ n ≤ 59 に対して M₁/₅(n) ≤ 276 が得られ、従来の限界を超えて結果を拡張する。
• 本稿では、7 ≤ n ≤ 417 において、球面上の2距離集合の最大サイズが n(n+1)/2 であることが証明されているが、n = (2k+1)²−3（k=2から9まで）の場合はよりタイトな上界が適用される。
• 本結果により、ℝ¹⁴に30本の等角線が存在しないこと、ℝ¹⁶に42本が存在しないこと、ℝ¹⁹に76本が存在しないこと、ℝ²⁰に96本が存在しないことが確認され、未解決事項が解消された。
• n = (2k+1)²−2 においてタイトな球面5デザインが存在するならば、すべての n ∈ [n, 3(2k+1)²−16] に対して M(n) = ½((2k+1)²−2)((2k+1)²−1) が成り立ち、200件以上のケースを一度に解決する。