[論文レビュー] New characterizations for core inverses in rings with involution

Sanzhang Xu, Jianlong Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、自己対合を備えた環におけるコア逆行列の新しい3式による特徴付けを提供し、要素 $ a $ が逆元 $ b $ を持つコア逆行列であるための必要十分条件として、$ (ab)^* = ab $、$ ba^2 = a $、$ ab^2 = b $ が成り立つことを示している。さらに、群逆行列をもつ要素がコア逆行列であるための必要十分条件が、{1,3}-逆行列であることであることを証明し、特定の直交性条件下で2つのコア逆行列要素の和のコア逆行列に対する明示的公式を導出している。

ABSTRACT

The core inverse for a complex matrix was introduced by Baksalary and Trenkler. Rakić, Dinčić and Djordjević generalized the core inverse of a complex matrix to the case of an element in a ring. They also proved that the core inverse of an element in a ring can be characterized by five equations and every core invertible element is group invertible. It is natural to ask when a group invertible element is core invertible, in this paper, we will answer this question. We will use three equations to characterize the core inverse of an element. That is, let $a, b\in R$, then $a\in R^{ iny extcircled{ iny\#}}$ with $a^{ iny extcircled{ iny\#}}=b$ if and only if $(ab)^{\ast}=ab$, $ba^{2}=a$ and $ab^{2}=b$. Finally, we investigate the additive property of two core invertible elements. Moreover, the formulae of the sum of two core invertible elements are presented.

研究の動機と目的

• *-環における群逆行列をもつ要素がコア逆行列である条件を特定すること。
• コア逆行列の最小限の3式による特徴付けを提供し、以前の研究で用いられた5式系を簡略化すること。
• コア逆行列をもつ要素の加法的性質を調査し、それらの和のコア逆行列に対する明示的公式を導出すること。
• 複素行列に既知のコア逆行列の結果を一般の自己対合を備えた環へと拡張すること。
• コア逆行列、群逆行列、{1,3}-逆行列の間の関係を、*-環において明確にすること。

提案手法

• コア逆行列の定義を、$ (ab)^* = ab $、$ ba^2 = a $、$ ab^2 = b $ の3式による特徴付けとして提案する。
• コア逆行列性と群逆行列性および{1,3}-逆行列性の交わりが同値であることを用いて、必要十分条件を導出する。
• 自己対合の性質、べき等元、および消去子条件を用いた環論的道具を用いて、コア逆行列をもつ要素の構造を分析する。
• 条件 $ ab = 0 $、$ a^*b = 0 $、および $ a,b $ がコア逆行列をもつ下で、公式 $ (a+b)^\tiny{\tiny\text{\textsterling}}=b^{\text{\textpi}}a^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}}+b^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} $ を導出する。
• 群逆行列に関連するスペクトル的べき等元 $ b^{\text{\textpi}} = 1 - b^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}}b $ を用いて、和のコア逆行列を表現する。
• 反例を用いて、和の公式における直交性条件の必要性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 *-環における群逆行列をもつ要素が、いつコア逆行列であるか？
• RQ2 コア逆行列が5式ではなく3式のみで特徴付けられるか？
• RQ3 2つのコア逆行列をもつ要素の和が、いつコア逆行列をもつのか？
• RQ4 条件 $ ab = 0 $ および $ a^*b = 0 $ を満たす2つのコア逆行列をもつ要素の和のコア逆行列に対する明示的公式は何か？
• RQ5 加法的条件下でコア逆行列と双対コア逆行列はどのように振る舞い、それに対応する和の公式は何か？

主な発見

• 要素 $ a $ が逆元 $ b $ をもつコア逆行列であるための必要十分条件は、$ (ab)^* = ab $、$ ba^2 = a $、$ ab^2 = b $ が成り立つことである。これは最小限の3式による特徴付けを提供する。
• 群逆行列をもつ要素 $ a $ がコア逆行列であるための必要十分条件は、$ a $ が{1,3}-逆行列であることである。すなわち、$ a \notin R^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} $ であるための必要十分条件は、$ a \notin R^{\text{\#}} \bigcap R^{\text{\{1,3\}}} $ である。
• 要素 $ a $ と $ b $ がコア逆行列をもつとき、$ ab = 0 $ および $ a^*b = 0 $ を満たすならば、$ a + b $ はコア逆行列をもち、$ (a+b)^\tiny{\tiny\text{\textsterling}} = b^{\text{\textpi}}a^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} + b^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} $ が成り立つ。ここで $ b^{\text{\textpi}} = 1 - b^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}}b $ である。
• 和の公式における条件 $ ab = 0 $ は必要不可欠であり、反例により $ ab \neq 0 $ のとき $ a + b $ がコア逆行列をもたないことが示された。
• 条件 $ ab = 0 $ および $ ab^* = 0 $ の下で、和 $ a + b $ の双対コア逆行列は $ (a+b)_{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} = a_{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} + b_{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}}a^{\text{\textpi}} $ を満たす。ここで $ a^{\text{\textpi}} = 1 - aa_{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} $ である。
• 本研究の結果は、既知の行列論的結果を任意の自己対合を備えた環へと一般化し、より広範な適用可能性を確立した。