[論文レビュー] New Codes on High Dimensional Expanders

Irit Dinur, Siqi Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2023

Error Correcting Code Techniques被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、高次元拡張子（HDX）を用いた新しい対称的かつ低密度パリティーチェック（LDPC）符号の族を紹介する。この符号は、単体的複体をベクトル空間に埋め込む新しい手法により構築され、2次元のHDX複体の三角形上での関数として定義される。辺に沿った局所的視点はリード・ソロモン符号を形成する。特定のパラメータに対しては定数レートの局所的テスト可能性を達成し、乗法的性質を示す。主な貢献は、制約数え上げを避けるレート解析を提供することであり、これにより局所符号のレートが1/2未満であっても非自明なレートを達成可能となる。

ABSTRACT

We describe a new parameterized family of symmetric error-correcting codes with low-density parity-check matrices (LDPC). Our codes can be described in two seemingly different ways. First, in relation to Reed-Muller codes: our codes are functions on a subset of $\mathbb{F}^n$ whose restrictions to a prescribed set of affine lines has low degree. Alternatively, they are Tanner codes on high dimensional expanders, where the coordinates of the codeword correspond to triangles of a $2$-dimensional expander, such that around every edge the local view forms a Reed-Solomon codeword. For some range of parameters our codes are provably locally testable, and their dimension is some fixed power of the block length. For another range of parameters our codes have distance and dimension that are both linear in the block length, but we do not know if they are locally testable. The codes also have the multiplication property: the coordinate-wise product of two codewords is a codeword in a related code. The definition of the codes relies on the construction of a specific family of simplicial complexes which is a slight variant on the coset complexes of Kaufman and Oppenheim. We show a novel way to embed the triangles of these complexes into $\mathbb{F}^n$, with the property that links of edges embed as affine lines in $\mathbb{F}^n$. We rely on this embedding to lower bound the rate of these codes in a way that avoids constraint-counting and thereby achieves non-trivial rate even when the local codes themselves have arbitrarily small rate, and in particular below $1/2$.

研究の動機と目的

• 高次元拡張子（HDX）を用いて、証明可能な局所的テスト可能性を有する新しい対称的低密度パリティーチェック（LDPC）符号の族を構築すること。
• 単体的複体をベクトル空間 Fn に埋め込む新しい手法により符号を定義し、辺のリンクがアフィン直線へ写像されることを保証すること。
• 従来の制約数え上げ手法に依存せずに、局所符号のレートが任意に小さくても非自明な符号レートを達成できることを示すこと。
• 符号が乗法的性質を満たすことを確立すること：2つの符号語の座標ごとの積が、関連する符号の符号語である。
• パラメータの範囲に対して局所的同意テスト可能性を証明し、拒絶確率およびロバスト性の明示的バウンドを提示すること。

提案手法

• KaufmanとOppenheimのコセット複体の変種を用い、Fq 上の単位的部分群を用いて、2次元の3部グラフ型単体的複体 Xn を構築する。
• Xn の三角形を Fn に埋め込み、辺のリンクが Fn 内のアフィン直線へ写像されるようにする。これにより局所的リード・ソロモン構造が実現される。
• グローバル符号を、Xn の三角形上で定義された関数として定義し、各辺のリンク（アフィン直線）上で低次の多項式に制限されるようにする。
• 2次元複体上のタンナーコード構成法を用い、頂点における局所符号を次数 d のリード・ソロモン符号とする。
• 逆帰納法と「トレイクルダウン」定理を適用し、高次元の面から低次元の面へ同意テスト可能性を伝搬する。
• 標準的な数え上げ論法を避けるために、幾何的埋め込みと組合せ的構造を用いてレートの下界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界次数の単体的高次元拡張子上に、証明可能な局所的テスト可能性と非自明なレートを有する新しい対称的LDPC符号の族を構築可能か？
• RQ2 特に局所符号のレートが1/2未満の場合に、制約数え上げに依存せずにHDX符号のレートを評価可能か？
• RQ3 提案された構成により、2つの符号語の座標ごとの積が関連する符号の符号語であるような乗法的性質を有する符号が得られるか？
• RQ4 どのパラメータ範囲で符号が局所的テスト可能か？ また、拒絶確率とロバスト性の明示的バウンドは何か？
• RQ5 Fn 内のアフィン直線としてのリンクの局所構造を活用することで、高距離かつ高次元の符号を定義可能か？

主な発見

• d < (1/4 - 5/64 δk−2)|F| を満たすパラメータにおいて、Cφ ⊂ {f : X(k) → F} は (ǫ−1, ρ−1(·))-同意テスト可能であり、ǫ−1 = (p−4d)/(5p))^3 および ρ−1(x) = D1·x が成り立ち、D1 = (k+1)|F|^k である。
• あるパrameter範囲では、符号の次元がブロック長の固定されたべきとなる。別の範囲では、距離および次元の両方がブロック長に比例する。
• 幾何的埋め込みを用いたアプローチにより、制約数え上げを避けてグローバル符号のレートの下界を確立し、局所符号のレートが1/2未満であっても非自明なレートを達成可能である。
• 頂点における局所符号は、リンク構造に応じてリード・ソロモン符号または2つのリード・ソロモン符号のテンソル積に同型であり、明示的なロバスト性バウンドを有する局所的テスト可能性を満たす。
• 符号は乗法的性質を満たす：局所的リード・ソロモン構造のおかげで、2つの符号語の座標ごとの積は関連する符号の符号語である。
• k=2 の場合、頂点における符号は (15) で定義された Cd,d に同型であり、d < |F|/4 のとき ((p−4d)/(5p))^3 , 4(·)^{1/3} )-同意テスト可能である。