[論文レビュー] New complete embedded minimal surfaces in H2xR

Juncheol Pyo|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2009

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、共役曲面法を用いて、$ℝ^2 \times \mathbb{R}$ における3つの新しい完全埋め込み最小曲面族を構成する：単連結で単一周期的な曲面（無限大の全曲率）；アニュラス型で全曲率有限の曲面；$k \geq 3$ 個の垂直平面的端を持つ genus-zero 曲面で、全曲率が $-4(k-1)\pi$ であるもの。この構成により、Hauswirth と Rosenberg が提起した、この空間における単連結でない全曲率有限の最小曲面の存在に関する問題が解決される。

ABSTRACT

We construct three kinds of complete embedded minimal surfaces in $\Bbb H^2 imes \Bbb R$. The first is a simply connected, singly periodic, infinite total curvature surface. The second is an annular finite total curvature surface. These two are conjugate surfaces just as the helicoid and the catenoid are in $\mathbb R^3$. The third one is a finite total curvature surface which is conformal to $\mathbb S^2\setminus\{p_1,...,p_k\}, k\geq3.$

研究の動機と目的

• 全曲率が有限である $ℝ^2 \times \mathbb{R}$ 内の新しい完全埋め込み最小曲面の構成。
• Hauswirth と Rosenberg が提起した、$ℝ^2 \times \mathbb{R}$ 内で単連結でない全曲率有限の最小曲面の存在に関する未解決問題の解決。
• $\mathbb{R}^3$ における共役曲面法を $ℝ^2 \times \mathbb{R}$ に拡張し、トポロジーと曲率を制御可能な埋め込み最小曲面を構成する。
• $\mathbb{R}^3$ とは異なり、$k \geq 3$ の場合に自己交差を起こさない埋め込み $k$-noid 型最小曲面が $ℝ^2 \times \mathbb{R}$ に存在することの証明。

提案手法

• $ℝ^2$ 内の無限大の理想三角形上に最小グラフ $\Delta^k$ を構成する。この領域は、1つの有限な水平測地線、1つの無限大な水平測地線、および1本の垂直測地線で囲まれており、なす角は $\pi/k$ である。
• Daniel よりも一般化された Hauswirth–Searp–Toubiana の方法に従い、$ℝ^2 \times \mathbb{R}$ 内で共役曲面構成を適用し、水平面および垂直面に直交する共役最小曲面 $\widetilde{\Delta}^k$ を得る。
• 共役曲面をその境界平面（$\pi/k$ の角度をなす2つの垂直平面と1つの水平平面）に関して反復反射することで、$k$ 個の垂直平面的端を持つ完全で埋め込み最小曲面 $\Sigma_k$ を生成する。
• 境界平面の $k$ 重回転対称性に基づいて、シュワルツの反射原理を反復的に適用し、曲面を大域的に拡張し、埋め込み性を保証する。
• Huber の定理を適用して、$\Sigma_k$ が $\mathbb{S}^2 \setminus \{p_1, \dots, p_k\}$ に等長的であることを示し、全曲率が有限であることを結論づける。
• Hauswirth と Rosenberg の曲率推定法を用いて、$\Sigma_k$ の全曲率が $-4(k-1)\pi$ であることを示し、各基本的領域が $-4\pi/k$ の全曲率を寄与することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ 内に、単連結でない完全最小曲面で全曲率が有限であるものが存在するか？
• RQ2 $k \geq 3$ の場合に、$ℝ^2 \times \mathbb{R}$ 内で自己交差を避ける埋め込み $k$-noid 型最小曲面を構成できるか？
• RQ3 $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ 内で共役曲面法を用いて、トポロジーと曲率を制御可能な完全で埋め込み最小曲面を生成できるか？
• RQ4 垂直平面的端が $k$ 個ある $ℝ^2 \times \mathbb{R}$ 内の完全埋め込み最小曲面の全曲率は何か？

主な発見

• 本稿では、無限大の全曲率を持つ単連結で単一周期的な完全埋め込み最小曲面を構成し、その基本的領域に有限曲率があるため、ルールド・ヘリコイドとは異なる。
• 境界が $180^\circ$ 対称性を持つ領域上の最小グラフの共役曲面として、アニュラス型で全曲率有限の最小曲面が構成され、単連結な全曲率有限曲面しか存在しないという仮定に対する反例を提供する。
• $k \geq 3$ 個の垂直平面的端を持つ genus-zero で完全な埋め込み最小曲面 $\Sigma_k$ が構成され、全曲率が $-4(k-1)\pi$ であることが確認され、$ℝ^2 \times \mathbb{R}$ 内に単連結でない全曲率有限の最小曲面が存在することを裏付けた。
• $\Sigma_k$ は、Huber の定理により $\mathbb{S}^2$ から $k$ 個の点を除いたものに等長的であり、その端は垂直平面に漸近する。
• $\Sigma_k$ の基本的領域の全曲率は $-4\pi/k$ であり、商曲面 $\Sigma_k / T_k$ の全曲率は $-4\pi$ であるため、これは $\Sigma_2$ 曲面の共役曲面である。
• 共役曲面と反射による構成法により、埋め込み性が保証され、非単連結なトポロジーを持つにもかかわらず、自己交差のない曲面が得られることを示した。