[論文レビュー] New conformal map for the Sinc approximation for exponentially decaying functions over the semi-infinite interval

Tomoaki Okayama, Yuya Shintaku+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2018

Matrix Theory and Algorithms参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、半無限区間 $ (0, \infty) $ における指数的減衰関数のSinc近似のための新しい共形写像 $ t = \phi(x) = \log(1 + e^x) $ を提案する。標準的な写像 $ t = \psi(x) = \arcsinh(e^x) $ に置き換えることで、理論的に計算可能な誤差境界を用いた解析と数値例を通じて、解析的領域の幅 $ d $ が大きくなるため、収束速度が向上することが示された。

ABSTRACT

The Sinc approximation has shown high efficiency for numerical methods in many fields. Conformal maps play an important role in the success, i.e., appropriate conformal map must be employed to elicit high performance of the Sinc approximation. Appropriate conformal maps have been proposed for typical cases; however, such maps may not be optimal. Thus, the performance of the Sinc approximation may be improved by using another conformal map rather than an existing map. In this paper, we propose a new conformal map for the case where functions are defined over the semi-infinite interval and decay exponentially. Then, we demonstrate in both theoretical and numerical ways that the convergence rate is improved by replacing the existing conformal map with the proposed map.

研究の動機と目的

• 半無限区間 $ (0, \infty) $ における指数的減衰関数のSinc近似の収束速度を向上させること。
• 従来の共形写像 $ \psi(x) = \arcsinh(e^x) $ を新しい写像 $ \phi(x) = \log(1 + e^x) $ に置き換えること。
• 新しい近似式の計算可能な誤差境界を導出すること。
• 理論的および数値的に、新しい写像が従来のものよりも速い収束を達成することを示すこと。

提案手法

• 区間 $ (-\infty, \infty) $ を $ (0, \infty) $ に写像する共形写像 $ \phi(x) = \log(1 + e^x) $ を提案し、半無限領域におけるSinc近似を可能にする。
• 写像 $ \phi(x) $ を用いたSinc近似の新しい計算可能な誤差境界を導出。その式は $ C\sqrt{n} e^{-\sqrt{\pi d \mu n}} $ で表され、$ \mu = \min(\alpha, \beta) $ である。
• 解析的領域 $ \phi(D_d) $ を分析し、$ \psi(D_d) $ よりも広い $ d $（最大 $ \pi $）をサポートしていることを示した。
• 最大モジュラスの原理と複素解析を用いて、誤差境界の妥当性を証明した。
• 定数 $ C $ を用いて新しい誤差境界と従来のものとを比較し、$ \left( \frac{e}{e-1} \right)^{\mu/2} $ の因子が新しい写像に有利に働くことを示した。
• 数値例を用いて、理論的な収束速度の向上が妥当であることを検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形写像 $ \psi(x) = \arcsinh(e^x) $ を $ \phi(x) = \log(1 + e^x) $ に置き換えることで、$ (0, \infty) $ における指数的減衰関数のSinc近似の収束速度が向上するか？
• RQ2 新しい共形写像 $ \phi(x) $ を用いたSinc近似の計算可能な誤差境界は何か？
• RQ3 2つの写像における変換関数の解析的領域幅 $ d $ はどのように比較できるか。また、収束に与える影響は何か？
• RQ4 新しい写像は理論的にも数値的にも、従来のものよりも速い収束を達成できるか？
• RQ5 パラメータ $ \alpha $, $ \beta $, および $ \mu = \min(\alpha, \beta) $ は、収束速度にどのように寄与するか？

主な発見

• 新しい共形写像 $ \phi(x) = \log(1 + e^x) $ は、解析的領域の幅 $ d $ が $ 0 < d < \pi $ と広がり、従来の写像 $ \psi(x) $ の $ 0 < d \leq \pi/2 $ よりも広がっているため、収束が速くなる。
• 新しい近似の理論的誤差境界は $ \leq C\sqrt{n} e^{-\sqrt{\pi d \mu n}} $ であり、定数 $ C $ には $ \left( \frac{e}{e-1} \right)^{\mu/2} $ の因子が含まれ、従来のものよりも改善されている。
• 定数 $ C $ の改善と $ d $ の範囲の拡大により、新しい手法は従来の $ \psi(x) $ を用いたSinc近似よりも収束速度が速くなる。
• 数値例により、新しい近似が従来のものよりも速く収束することが確認され、理論的分析が妥当であることが裏付けられた。
• 最大モジュラスの原理を用いて、$ \left| \frac{= \log(1 + e^{x+i\pi})}{1 + \log(1 + e^{x+i\pi})} \cdot \frac{e^{-l} + e^{x+i\pi}}{e^{x+i\pi}} \right| \leq 1 $ の境界が証明され、これは誤差境界の導出に不可欠である。
• 本稿では、$ \phi(x) $ が $ \pm i\pi $ で解析的であるのに対し、$ \psi(x) $ はそうではないことが示され、$ \phi $ の広い解析的領域の理由が説明された。