[論文レビュー] New considerations on Hilbert action and Einstein equations in anisotropic spaces

Nicoleta Voicu|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Finsler幾何に一般化されたヒルベルト作用を用い、無限小微分同相変換に対する不変性を課すことにより、Finsler空間におけるアインシュタイン方程式の変分的導出を提案している。主な貢献は、Finsler空間におけるエネルギー運動量保存則の新しい形式であり、$ T_{~{}~{}k|j}^{j} + (y^{l}T^{ij}C_{ijk})_{|l} = 0 $ と表される。これはリーマン空間の極限で標準的な発散なし条件に還元される。

ABSTRACT

We find the generalization of Einstein equations to Finsler spaces by variational means and, based on the invariance of the Finslerian Hilbert action to infinitesimal transformations, we find the analogue of the energy- momentum conservation law in these spaces.

研究の動機と目的

• Finsler幾何に一般化されたアインシュタインの場の方程式を、Finsler的ヒルベルト作用に基づく変分原理を用いて導出すること。
• ヒルベルト作用の無限小微分同相変換に対する不変性を活用することで、Finsler幾何におけるエネルギー運動量テンソルの保存則を導出すること。
• 特に弱い場および共形変形の場合に一般相対性理論と整合することを保証し、リーマン空間の極限において一貫性を確保すること。
• 恣意的な仮定を避け、変分法に裏打ちされたFinsler幾何における重力場の方程式の統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 接 bundle $ TM $ 上のチャーン接続のスカラー曲率を用いて、Finsler的ヒルベルト作用を形式化し、Finsler計量を含む体積形式を用いて時空上に作用を積分する。
• Finsler計量 $ g_{ij}(x,y) $ に対して作用を変分計算し、$ R_{ij} - \frac{1}{2}Rg_{ij} = \mathcal{X}T_{ij} $ の形の場の方程式を導出する。ここで $ \mathcal{X} $ は結合定数である。
• 多様体 $ M $ 上に無限小微分同相変換を導入し、それによって $ TM $ 上に変換を誘導する。計量の変動は $ \mathbf{\delta}g_{ij} = \mathcal{L}_{\xi}g_{ij} $ と表され、共変微分とカルタンテンソル $ C_{ijk} $ を含む。
• ヒルベルト作用のこのような変換に対する不変性を用いて、アインシュタインテンソルに制約を課し、保存則の恒等式を導出する。
• 部分積分を行い、ベクトル場 $ \xi^k $ の任意性を用いて、一般化されたエネルギー運動量保存則を導出する。
• 弱い歪みおよびミンコフスキーおよびベルヴァルト・ムール計量の共形変形のケースを検討することで、一般相対性理論のリーマン空間極限における整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変分原理を用いて、リーマン幾何からFinsler幾何へのアインシュタイン場の方程式の整合的な一般化はどのように可能か？
• RQ2 対称的計量接続が存在しない状況において、Finsler空間におけるエネルギー運動量保存則の適切な形は何か？
• RQ3 一般化された保存則がリーマン空間の極限でどのように標準的な $ T_{~{}~{}k,j}^{j} = 0 $ に還元されるか？
• RQ4 Finsler幾何における保存則の修正に、カルタンテンソル $ C_{ijk} $ が果たす役割は何か？
• RQ5 提案された場の方程式は、弱い場領域で標準的な線形化重力方程式を回復できるか？

主な発見

• 論文は、Finsler的ヒルベルト作用の汎関数微分として定義されるアインシュタインテンソルを用いて、Finsler的アインシュタイン方程式を変分原理により導出している。その形式は $ R_{ij} - \frac{1}{2}Rg_{ij} = \mathcal{X}T_{ij} $ である。
• Finsler空間におけるエネルギー運動量テンソルは、一般化された保存則 $ T_{~{}~{}k|j}^{j} + (y^{l}T^{ij}C_{ijk})_{|l} = 0 $ を満たし、リーマン空間の極限では $ T_{~{}~{}k,j}^{j} = 0 $ に還元される。
• 弱い場の極限で $ g_{ij} = \eta_{ij} + \varepsilon_{ij} $ とすると、場の方程式は波動方程式 $ \square\varepsilon_{ij} = 0 $ に簡略化され、線形化重力と整合する。
• ベルヴァルト・ムール計量の弱い共形変形に対しては、場の方程式は $ \square\varepsilon = 0 $ に簡略化され、この極限で共形重力と整合することが示唆される。
• Finsler的ヒルベルト作用は無限小微分同相変換に対して不変であり、この不変性が直接的に一般化されたエネルギー運動量保存則を導く。
• 導出プロセスはリーマン空間の極限において一般相対性理論と整合しており、アインシュタイン理論をFinsler幾何に自然に拡張する手法として妥当性を確認している。