[論文レビュー] New constructions of quaternary bent functions

Baofeng Wu, Dongdai Lin|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、特徴が4のガロア環上での二次形式を用いた、四元数のバント関数の新しい構成を提示する。これは、リー、タン、ヘレセスェトによる先行研究を一般化するものである。多項式の最大公約因に関する条件を用いて、特定の係数集合（QBF-集合）を特徴づけることで、四元数のバント関数の新しいクラスが得られ、さらに二進バント関数および半バント関数との関連を介して、多項式形式における新しいクラスの二次二進バント関数および半バント関数が得られる。

ABSTRACT

In this paper, a new construction of quaternary bent functions from quaternary quadratic forms over Galois rings of characteristic 4 is proposed. Based on this construction, several new classes of quaternary bent functions are obtained, and as a consequence, several new classes of quadratic binary bent and semi-bent functions in polynomial forms are derived. This work generalizes the recent work of N. Li, X. Tang and T. Helleseth.

研究の動機と目的

• 特徴が4のガロア環上でのトレース形式に基づく、最近の四元数のバント関数の構成を一般化すること。
• トレース形式によって定義された四元数関数がバント関数であるための十分条件を、多項式の最大公約因条件を用いて同定すること。
• 構成された四元数のバント関数から、多項式形式における新しいクラスの二次バント関数および半バント関数を導出すること。
• ガロア環の構造的性質およびタイヒミュラー集合を活用して、既知のバント関数および半バント関数の族を拡張すること。

提案手法

• 四元数のバント関数を、ガロア環 GR(4,n) 上のトレース形式として定義する。具体的には、x がタイヒミュラー集合に属するとき、Q(x) = Tr₁ⁿ(αx + 2∑cᵢβx^{1+2^{eki}}) とする。
• タイヒミュラー集合と 𝔽₂ⁿ 間の同型を用いて、トレース関数の2進展開を通じて四元数関数と二進関数を関連付ける。
• バント性の必要十分条件を確立する：c(xᵏ), xᵐ−1) = 1 が成り立つこと。ここで、c(x) は係数 {cᵢ} から得られる二進多項式である。
• 代数的数論および円分多項式の性質を用いて、QBF-集合（最大公約因条件を満たす係数集合）を特徴づける。
• ステニカらの研究による四元数バント関数と二進バント／半バント関数との関連を応用し、多項式形式の二進関数を導出する。
• 得られた二進関数が、n が偶数のとき二次バント関数、n が奇数のとき二次半バント関数であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数 {cᵢ} がどのような条件下で、四元数関数 Q(x) = Tr₁ⁿ(αx + 2∑cᵢβx^{1+2^{eki}}) が GR(4,n) 上でバント関数となるか。
• RQ2 特定の係数集合に対して、gcd(c(xᵏ), xᵐ−1) = 1 という最大公約因条件を代数的にどのように特徴づけられるか。
• RQ3 構成された四元数バント関数から、多項式形式における新しいクラスの二次バント関数および半バント関数はどのようなものか。
• RQ4 この構成は、リー、タン、ヘレセスェトによる四元数バント関数に関する最近の研究をどのように一般化するか。
• RQ5 ガロア環およびタイヒミュラー集合の構造的性質は、新しいバント関数の構成をどのように支援するか。

主な発見

• 本稿では、四元数バント関数のための新しい十分条件を確立した：c(x) が係数 {cᵢ} から得られる二進多項式であるとき、gcd(c(xᵏ), xᵐ−1) = 1 が成り立つこと。
• 最大公約因条件を満たす QBF-集合を特定することで、幾つかの新しい四元数バント関数のクラスが明示的に構成され、先行研究を一般化している。
• n が偶数の場合、導出された二進関数 f_Q(x) は多項式形式の二次バント関数である。n が奇数の場合、それは二次半バント関数である。
• 得られた二進関数は f_Q(x) = p(αx) + ∑cᵢ tr₁ⁿ(βx^{1+2^{eki}}) の形をとり、p(x) は特定の指数に対するトレース和によって定義される。
• この構成により、有限体上の二次形式に基づく従来の手法ではカバーされない、新しい二次バント関数および半バント関数の族が得られる。
• 最大公約因条件を満たす係数集合を選択することで、体系的な方法で新しいバント関数および半バント関数を生成する手法が提供され、命題1～10から得られる明示的な例が示されている。