[論文レビュー] New Constructions of Sonar Sequences

Diego Ruíz, Carlos A. Trujillo+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2013

graph theory and CDMA systems参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ボーズおよびルズァの構成から得られる1次元のサイドン集合を用いて、新たなモジュラーソナー列の構成法を提示する。これらのサイドン集合の要素を床関数による除算によって周波数インデックスにマッピングすることで、保証された低不確かさを有する $m \times n$ のモジュラーソナー列が得られ、従来のコスタス配列に基づく手法とは独立した代替手法を提供するとともに、素数および素数冪のモジュラスに対する既知の構成法を拡張する。

ABSTRACT

A set A is a Sidon set in an additive group G if every element of G can be written at most one way as sum of two elements of A. A particular case of two-dimensional Sidon sets are the sonar sequences, which are two-dimensional synchronization patterns. The main known constructions of sonar sequences are reminiscent of Costas arrays constructions (Welch and Golomb). Other constructions are Quadratic and Shift. In this work we present new constructions of sonar sequences, independent of the named above, using one-dimensional Sidon sets.

研究の動機と目的

• 古典的なウェルチ、ゴロム、コスタスに基づく手法とは異なる、新たな独立したソナー列の構成法を開発すること。
• 特にボーズおよびルズァの構成から得られる1次元サイドン集合を活用し、2次元のソナー列を生成すること。
• これらの新規構成法が最小限の不確かさを有する有効なモジュラー・ソナー列を生成する条件を確立すること。
• 特に素数および素数冪のモジュラスに対して、可能な $m \times n$ ソナー列の次元範囲を拡張すること。
• 与えられた $m$ に対するソナー列の最大長 $G(m)$ に関する未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 素数冪 $q = p^r$ に対して、$\mathbb{Z}_{(q+1)(q-1)}$ におけるボーズのサイドン集合の構成法を用い、互いに異なる2要素和を持つ $q$ 要素の集合を生成する。
• 奇素数 $p$ に対して、$\mathbb{Z}_{p(p-1)}$ におけるルズァのサイドン集合の構成法を用い、一意な和の性質を持つ $p-1$ 要素の集合を生成する。
• $k = q+1$ または $k = p$ とし、$b_i$ を $i \mod k$ と合同なサイドン集合の唯一の要素とする。このとき、写像 $f(i) = \left\lfloor \frac{b_i}{k} \right\rfloor$ を定義する。
• 得られた列がモジュラー・ソナー条件を満たすことを証明する：$f_{i+h} - f_i \equiv f_{j+h} - f_j \pmod{m} \Rightarrow i = j$。
• 周波数ドメインにおける差の相違性が保たれることを確認し、信号検出における低不確かさを保証する。
• 定理10からコロナリー1および2を導出し、$(q-1) \times q$ および $(p-1) \times (p-1)$、$p \times (p-1)$ のモジュラー・ソナー列の明示的構成法を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元サイドン集合から、コスタスに基づかない新たなソナー列の構成法を導出可能か？
• RQ2 ボーズおよびルズァのサイドン集合の構成法が、有効なモジュラー・ソナー列を導出可能にする性質は何か？
• RQ3 この手法を用いて、どのモジュラス $m$ に対して新たな $m \times n$ モジュラー・ソナー列を構成可能か？
• RQ4 すべての正の整数 $m$ に対して $G(m) \geq m$ が成り立つか、証明または反証可能か？
• RQ5 この手法を非モジュラーな $m \times n$ ソナー列の構成に拡張可能か？

主な発見

• 定理10は、$k$ を法とする要素の床関数による除算を用いて、1次元サイドン集合から $m \times n$ モジュラー・ソナー列を構成する一般的手法を確立する。
• コロナリー1は、$\mathbb{Z}_{(q+1)(q-1)}$ 内のサイズ $q$ のボーズのサイドン集合から、$(q-1) \times q$ のモジュラー・ソナー列を生成する。
• コロナリー2は、$\mathbb{Z}_{p(p-1)}$ 内のサイズ $p-1$ のルズァのサイドン集合から、$(p-1) \times (p-1)$ のモジュラー・ソナー列を生成する。
• コロナリー2は、法を $p-1$ に調整することで、$p \times (p-1)$ のモジュラー・ソナー列を生成する。
• 例1は、$q=9$ を用いたボーズの構成から得られる具体的な $8 \times 9$ のモジュラー・ソナー列 $[0,6,5,0,5,7,3,3,4]$ を示す。
• 例2は、$p=7$ に対して $6 \times 6$ の列 $[5,0,4,0,0,3]$ と、$p=13$ に対して $13 \times 12$ の列 $[12,12,11,8,1,12,7,9,12,4,0,4]$ を、ルズァの構成法を用いて示す。