[論文レビュー] New Constructive Aspects of the Lovasz Local Lemma

Bernhard Haeupler, Barna Saha+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Moser-Tardosアルゴリズムが条件付きLLL分布をよく近似することを示すことにより、Lovász Local Lemma (LLL) の構成的技法を導入する。これにより、悪い事象の数が多項式を超える場合でも、効率的なサンプリングと確率的解析が可能になる。本稿では、Santa Claus問題の定数近似、巡回辺彩色およびラムゼー型グラフの改善された境界など、いくつかの問題に対して、初めての効率的モンテカルロおよびRNCアルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

The Lovász Local Lemma (LLL) states that the probability that none of a set of "bad" events happens is nonzero if the probability of each event is small compared to the number of bad events it depends on. A series of results have provided algorithms to efficiently construct structures whose existence is (non-constructively) guaranteed by the full asymmetric LLL, culminating in the recent breakthrough of Moser & Tardos. We show that the output distribution of the Moser-Tardos procedure has sufficient randomness, leading to two classes of algorithmic applications. We first show that when an LLL application provides a small amount of slack, the running time of the Moser-Tardos algorithm is polynomial in the number of underlying independent variables (not events!), and can thus be used to give efficient constructions in cases where the underlying proof applies the LLL to super-polynomially many events (or where finding a bad event that holds is computationally hard). We demonstrate our method on applications including: the first constant-factor approximation algorithm for the Santa Claus problem, as well as efficient algorithms for acyclic edge coloring, non-repetitive graph colorings, and Ramsey-type graphs. Second, we show applications to cases where a few of the bad events can hold, leading to the first such algorithmic applications of the LLL: MAX $k$-SAT is an illustrative example of this.

研究の動機と目的

• 悪い事象の数が超多項式である場合でも、非構成的LLLの応用と効率的なアルゴリズム的構築との間のギャップを埋めること。
• Moser-Tardosアルゴリズムが条件付きLLL分布から効率的にサンプリングできることを示し、条件付き空間におけるレアイベントの確率的解析を可能にすること。
• 悪い事象の検出が計算的に困難な問題に対して、小さなコア事象の集合に注目することで、効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 標準的な依存度閾値を超えてLLLに基づく結果を拡張すること。コアからサンプリングすることで、期待値を上回る割合の悪い事象を回避すること。
• Santa Claus問題、巡回辺彩色、反復的でない彩色など、いくつかの組合せ問題に対して、初めての効率的アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• Moser-Tardosアルゴリズムを用いて、すべての悪い事象を回避する条件付きLLL分布から効率的にサンプリングする。
• 条件付きLLL分布における事象確率の既知の境界を用い、非コア事象における和集合の上限解析を実施し、期待違反回数を低く保つ。
• 確率的またはLLLに基づく選択により、小さなコア部分集合を構築する。ここで、コアのみを再サンプリングすることで、大きな割合の悪い事象を回避する高確率の成功が達成される。
• Moser-Tardosアルゴリズムを、コア選択の失敗をモデル化する悪い事象の系に適用し、コアが依存関係の過負荷を避けることを保証する。
• チェルノフの不等式とLLLの条件を用いて、コア内の任意の事象が多すぎる隣接事象を持つ確率を抑え、コアが良好に動作することを保証する。
• コア構築とMoser-Tardosアルゴリズムを組み合わせ、多項式時間（poly(n,m)）で実行され、期待違反事象数が低い確率的アルゴリズムを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 悪い事象の数が超多項式であっても、Moser-Tardosアルゴリズムが条件付きLLL分布から効率的にサンプリングできるか？
• RQ2 Moser-Tardosアルゴリズムの出力が、事象検出が困難なLLLに基づく問題に対して、効率的モンテカルロまたはRNCアルゴリズムを構築するために利用できるか？
• RQ3 すべての悪い事象を回避することは不可能な場合でも、最小化された違反事象数を達成するためにLLLフレームワークを拡張できるか？
• RQ4 条件付きLLL分布におけるコアサイズと期待違反事象数の最適なトレードオフは何か？
• RQ5 構成的LLLアプローチを用いることで、Santa Claus問題のような問題に対して、初めての効率的近似アルゴリズムを得られるか？

主な発見

• Moser-Tardosアルゴリズムは、条件付きLLL分布をよく近似しており、条件付き空間における稀な事象の確率的解析を可能にする。
• 任意のα > 0に対して、Moser-Tardosアルゴリズムの出力における違反悪い事象の期待値は、(1+o(1))λ(α)·mp未満である。ここでλ(α)はαの非線形関数である。
• LLLに余裕がある場合、Moser-Tardosアルゴリズムにおける再サンプリング回数は、事象数mではなく変数数nにほぼ線形に比例する。
• 本稿では、FeigeのLLLに基づく証明を構成的にすることで、Santa Claus問題に対する初めての定数近似アルゴリズムを提供する。
• 巡回辺彩色、反復的でないグラフ彩色、およびラムゼー型グラフに対してモンテカルロアルゴリズムを構築し、先行研究よりも良い境界を得ている。
• LLL分布からコアをサンプリングすることで、完全な回避が不可能であっても、期待値を上回る割合の悪い事象を回避できる。MAX k-SATにおいてこの現象が実証された。