[論文レビュー] New Criteria of Generic Hyperbolicity based on Periodic Points

Armando Castro|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、周期点の非一様力学的性質（NUH）にのみ依存する、$C^1$微分同相写像および局所微分同相写像における一様力学的性質の新たな一般的基準を確立する。周期点のNUHが成り立つ残渣的集合における微分同相写像を用い、非可逆的版の確率的閉じ込め補題（Ergodic Closing Lemma）を導入することで、このような系が一般にAxiom Aであり、かつ一様力学的であることを証明する。これは、シャドーイングに基づく基準のより弱い代替手段を提供する。

ABSTRACT

We prove a criteria for uniform hyperbolicity based on the periodic points of the transformation. More precisely, if a mild (non uniform) hyperbolicity condition holds for the periodic points of any diffeomorphism in a residual subset of a $C^1$-open set $\SU$ then there exists an open and dense subset $\SA\subset \SU$ of Axiom A diffeomorphisms. Moreover, we also prove a noninvertible version of Ergodic Closing Lemma which we use to prove a counterpart of this result for local diffeomorphisms. As a simple corollary of our techniques, we have that an arbitrary $\mathrm{C}^1$-class local diffeomorphism $f$ of a closed manifold $M^n$ is uniformly expanding on the closure $\mathrm{Cl}_{M^n}(\mathrm{Per}(f))$ of its periodic point set $\mathrm{Per}(f)$, if it is nonuniformly expanding on $\mathrm{Per}(f)$.

研究の動機と目的

• 一様力学的性質の一般的条件を、シャドーイングの強い仮定を避けて、周期点の挙動のみに依存する形で確立すること。
• 確率的閉じ込め補題を特異点のない自己写像（局所微分同相写像）に拡張し、非可逆な設定における弱シャドーイングの利用を可能にすること。
• NUH周期点を持つ$C^1$-開集合における残渣的部分集合が、Axiom A微分同相写像から成ることを証明すること。
• 摂動および連続性の議論を用いて、このような系の確率測度が周期測度の弱-*極限として表せることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、微分同相写像の$C^1$-開集合$\mathcal{U}$を定義し、周期集合が非一様力学的（NUH）であるような残渣的部分集合を考察する。
• 拡張された確率的閉じ込め補題（非可逆的設定に適応）を用いて、任意の確率測度が近傍の系からの周期測度の弱-*極限として表せることを示す。
• 周期点の力学的性質を保ちつつ系を摂動し、周期測度の閉包写像$\Upsilon$の下方連続性を用いることで、測度の収束を確立する。
• 証明は、確率的分解定理と、軌道に沿った経験的測度の弱-*収束が確率的極限に一致することに依存する。
• 鍵となる技術は、一般点$x$の軌道を$\epsilon_k/3$-シャドーする、周期点$p_k$を持つ近傍の微分同相写像$g_k$の列を構成することであり、これにより不変測度の収束が保証される。
• 非可逆な設定への応用のために、確率的閉じ込め補題の非可逆版を証明し、非可逆系における本質的役割を果たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シャドーイングの強い性質を仮定せず、周期点の力学的性質のみに依存して、一様力学的性質を一般に特徴づけられるか？
• RQ2 自己写像における一般軌道が周期点によって弱シャドー可能となるような、非可逆的確率的閉じ込め補題は存在するか？
• RQ3 $C^1$微分同相写像のうち、非一様力学的周期点集合を持つものの集合が残渣的であり、かつそれが一般に一様力学的性質を意味するか？
• RQ4 周期点がNUHかつ力学的に双曲的である系において、確率測度が弱-*位相で周期測度によって近似可能か？
• RQ5 周期測度の閉包がすべての不変測度と一致するのはどのような条件下か？ これはAxiom A構造の成立を示唆する。

主な発見

• 非一様力学的周期点を持つ$C^1$-開集合$\mathcal{U}$の残渣的部分集合は、すべてAxiom A微分同相写像から成る。
• 特異点のない$C^1$自己写像に対して、非可逆的版の確率的閉じ込め補題が成り立ち、一般軌道が周期点によって弱シャドー可能であることを可能にする。
• 残渣的集合に属する系の任意の確率測度は、近傍の系からの周期測度の弱-*極限として表され、不変測度の集合が周期測度の閉凸包であることが保証される。
• $\Upsilon(f) = \overline{\mathcal{M}_{\text{per}}(f)}$は下位連続であり、$\mathcal{U}$の残渣的部分集合に於いて$\Upsilon$の連続点が存在する。
• このような連続点$f$に対して、不変測度の集合$\mathcal{M}_1(f)$は、$f$-確率的測度で周期軌道に台を持つものから成る閉凸包である。
• この結果により、周期点のNUH性のみを仮定すれば、$\mathcal{U}$において一様力学的性質が一般に成り立つことが示唆される。シャドーイングの完全な性質は必要としない。