[論文レビュー] New definition of quasilocal mass and its positivity

Chiu-Chu Melissa Liu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2003

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、境界をなすコンパクトなスカラー超曲面に依存しない、正の内在的曲率をもつ時空的2次曲面のための新しい準局所質量の定義を提示する。局所的エネルギー条件の下で、準局所エネルギーが常に正であることを証明し、局所的エネルギー条件下での基本的な正性性質を確立する。

ABSTRACT

We propose definitions of quasilocal energy and momentum surface energy of a spacelike 2-surface with positive intrinsic curvature in a spacetime. Our definitions do not depend on the compact spacelike hypersurface it bounds. We show that the quasilocal energy of the boundary of a compact spacelike hypersurface which satisfies the local energy condition is strictly positive unless the spacetime is flat along the spacelike hypersurface.

研究の動機と目的

• 時空的2次曲面に正の内在的曲率をもつ場合の準局所エネルギーおよび運動量表面エネルギーを定義すること。
• 定義において、曲面を囲むコンパクトなスカラー超曲面に依存しないようにすること。
• 局所的エネルギー条件の下で準局所エネルギーの正性を確立すること。
• 一般相対性理論における準局所質量の幾何学的内挿的定義を提供すること。

提案手法

• 境界超曲面に依存しない、2次曲面の内在的幾何学のみを用いて準局所エネルギーおよび運動量を定義する。
• 定義において、2次曲面の内在的曲率を主要な幾何的入力として用いる。
• 変分原理および幾何学的解析を用いてエネルギー運動量の式を導出する。
• 支配的エネルギー条件および時空の曲率制約を用いて正性を分析する。
• ガウス・コダッチ方程式を用いて、表面の幾何学と時空の曲率を関連付ける。
• 局所的エネルギー条件の下で、準局所エネルギーが平坦時空の場合にのみ消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界超曲面に依存しない、2次曲面に対して幾何学的に内挿的である準局所質量を定義できるか？
• RQ2 局所的エネルギー条件を満たす時空における2次曲面に対して、準局所エネルギーが厳密に正であるか？
• RQ3 どのような幾何学的および物理的条件下で準局所エネルギーが消えるか？
• RQ4 2次曲面の内在的曲率は、準局所エネルギーの定義および正性にどのように影響するか？
• RQ5 新しい定義は、非コンパクトまたは漸近的に平坦な時空に対しても一貫して適用可能か？

主な発見

• 局所的エネルギー条件を満たす時空において、正の内在的曲率をもつ任意の時空的2次曲面に対して、提案された準局所エネルギーは厳密に正である。
• 定義は、2次曲面を囲むコンパクトなスカラー超曲面の知識を必要としない。
• 準局所エネルギーは、時空がその超曲面に沿って平坦である場合にのみ消える。
• 漸近的平坦性や対称性の仮定なしに、正性の結果が成り立つ。
• 定義は幾何学的に内挿的であり、2次曲面の内在的幾何学および時空の曲率にのみ依存する。
• この手法により、一般相対性理論における表面の幾何学とエネルギー含量の間のきつい結びつきが確立される。