[論文レビュー] New derived autoequivalences of Hilbert schemes and generalised Kummer varieties

Andreas Krug|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、滑らかな射影的曲面 $X$ の導来圏上に、対角埋め込みと自明な $\mathfrak{S}_n$-線形化を用いて構成された新しい $\mathbb{P}^{n-1}$-関手を導入する。この関手は、ヒルベルトスキーム $X^{[n]}$ 上に導来自己同値を誘導する。アーベル曲面の場合、これは一般化されたクラスマン多様体上に $n^4$ 個の直交する $\mathbb{P}^{n-1}$-対象へ制限され、Kummer曲面上の16個の球面的対象を一般化する。

ABSTRACT

We show that for every smooth projective surface X and every $n\ge 2$ the push-forward along the diagonal embedding gives a $P^{n-1}$-functor into the $S_n$-equivariant derived category of X^n. Using the Bridgeland--King--Reid--Haiman equivalence this yields a new autoequivalence of the derived category of the Hilbert scheme of n points on X. In the case that the canonical bundle of X is trivial and n=2 this autoequivalence coincides with the known EZ-spherical twist induced by the boundary of the Hilbert scheme. We also generalise the 16 spherical objects on the Kummer surface given by the exceptional curves to n^4 orthogonal $P^{n-1}$-Objects on the generalised Kummer variety.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的曲面 $X$ と $n \geq 2$ に対して、ヒルベルトスキーム $X^{[n]}$ の新しい導来自己同値を構成すること。
• $X^{[2]}$ の境界によって誘導される既知の自己同値を、$n \geq 2$ および非自明な canonical bundle を持つ曲面へ一般化すること。
• アーベル曲面 $A$ に対して、Kummer曲面 $K_1A$ 上の16個の球面的対象を、一般化されたクラスマン多様体 $K_{n-1}A$ 上の $n^4$ 個の直交する $\mathbb{P}^{n-1}$-対象へ一般化すること。

提案手法

• 自明な $\mathfrak{S}_n$-線形化と対角埋め込み $\delta_*: \operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_n}(X) \to \operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_n}(X^n)$ 沿いの押し出しの合成として、関手 $F: \operatorname{D}^b(X) \to \operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_n}(X^n)$ を定義する。
• 関手 $F$ が $\mathbb{P}^{n-1}$-関手であることを、必要な随伴およびコホモロジー的条件を検証することで証明する。特に、自己同値 $H$ を用いて $RF \simeq \operatorname{id} \oplus H \oplus \cdots \oplus H^n$ が成り立つことを確認する。
• Bridgeland–King–Reid–Haiman同値を用いて、この $\mathbb{P}^{n-1}$-関手をヒルベルトスキーム $X^{[n]}$ の導来圏へ移行させ、新たな自己同値を得る。
• アーベル曲面 $A$ に対して、一般化されたクラスマン多様体 $K_{n-1}A \subset A^{[n]}$ に $\mathbb{P}^{n-1}$-関手を制限し、それが $n^4$ 個の互いに直交する $\mathbb{P}^{n-1}$-対象に分解することを示す。
• これらの対象が $A$ の $n$-torsion 点におけるスカイクラッパー層であることを、横断的交差と正規束の $\mathfrak{S}_n$-不変コホモロジーを用いて同定する。
• 標準的な自己同値（例えば $\operatorname{Aut}(\operatorname{D}^b(X))$ や Addington の関手から得られるもの）と比較し、Fano 曲面であっても、この新しい自己同値が標準的でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の滑らかな射影的曲面 $X$ と $n \geq 2$ に対して、自明な $\mathfrak{S}_n$-線形化に沿った対角押し出しは、$X^n$ 上で $\mathbb{P}^{n-1}$-関手をもたらすか？
• RQ2 $n=2$ の場合、canonical bundle が自明な $X$ に対して、この $\mathbb{P}^{n-1}$-関手が誘導する自己同値は、$X^{[2]}$ 上で境界 $X^{[2]}_{\Delta}$ によって誘導される既知の自己同値と一致するか？
• RQ3 $K_1A$ 上の16個の球面的対象は、$n \geq 2$ に対して一般化されたクラスマン多様体 $K_{n-1}A$ 上の $n^4$ 個の直交する $\mathbb{P}^{n-1}$-対象へ一般化可能か？
• RQ4 この新しい自己同値は、Ploog の構成や Addington の関手から得られる既存のものとどのように比較できるか？
• RQ5 $X$ が Fano 曲面であっても、$K_{n-1}A$ 上に誘導される自己同値は、標準的な自己同値とは独立しているか？

主な発見

• 任意の滑らかな射影的曲面 $X$ と $n \geq 2$ に対して、自明な $\mathfrak{S}_n$-線形化と対角押し出しによって定義される関手 $F: \operatorname{D}^b(X) \to \operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_n}(X^n)$ は、$\mathbb{P}^{n-1}$-関手である。
• $n=2$ かつ $K_X \cong \mathcal{O}_X$ の場合、$F$ が $X^{[2]}$ 上に誘導する自己同値は、$X^{[2]}_{\Delta}$ に沿った境界によって誘導される既知の自己同値と一致する。これは、EZ-球面的対象 $\mathcal{O}_{\mu|X^{[2]}_{\Delta}}(-2)$ を通じて得られる。
• アーベル曲面 $A$ の一般化されたクラスマン多様体 $K_{n-1}A$ 上では、$\mathbb{P}^{n-1}$-関手の制限が、$A$ の各 $n$-torsion 点に対応する $n^4$ 個の互いに直交する $\mathbb{P}^{n-1}$-対象に分解される。
• これらの $n^4$ 個の対象は、Kummer曲面 $K_1A$ 上の16個の球面的対象を一般化する。Kummer曲面の16個の対象は $a \in A_2$ に対して $\mathcal{O}_{E(a)}(-2)[1]$ で与えられ、Bridgeland–King–Reid 同値のもとで $\Phi^{-1}(\mathbb{C}(\delta(a)))$ と同定される。
• $X^{[n]}$ 上に誘導される自己同値は、標準的ではなく、$\operatorname{Aut}(\operatorname{D}^b(X))$ や Addington の関手から得られるものとは異なる。Fano 曲面であっても同様である。
• $\operatorname{D}^b(K_{n-1}A)$ の自己同値群には、$n^4$ 個の直交する $\mathbb{P}^{n-1}$-対象に付随する twist によって生成される $\mathbb{Z}^{n^4}$ のコピーが含まれる。