[論文レビュー] New Distributed Algorithms in Almost Mixing Time via Transformations from Parallel Algorithms

Mohsen Ghaffari, Jason Li|arXiv (Cornell University)|May 12, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 2被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、混合時間の小さいネットワークにおける作業効率の良いPRAMアルゴリズムを、分散アルゴリズムに変換する一般化された変換を提示している。この変換により、${\tau_{\text{mix}}}(G)\cdot n^{o(1)}$ラウンドで近似的に最適な性能が達成される。この手法は、近似最大フロー、最短経路、トランスシッピングといった重要な問題に適用可能であり、最悪ケースのグラフにおける既知の下界を回避し、混合性の高いネットワークにおけるこれらの問題に対する最初の$\sqrt{n}$未満ラウンドのアルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

We show that many classical optimization problems --- such as $(1\pmε)$-approximate maximum flow, shortest path, and transshipment --- can be computed in $ ewcommand{ mix}{τ_{ ext{mix}}} mix(G)\cdot n^{o(1)}$ rounds of distributed message passing, where $ mix(G)$ is the mixing time of the network graph $G$. This extends the result of Ghaffari et al.\ [PODC'17], whose main result is a distributed MST algorithm in $ mix(G)\cdot 2^{O(\sqrt{\log n \log\log n})}$ rounds in the CONGEST model, to a much wider class of optimization problems. For many practical networks of interest, e.g., peer-to-peer or overlay network structures, the mixing time $ mix(G)$ is small, e.g., polylogarithmic. On these networks, our algorithms bypass the $ ildeΩ(\sqrt n+D)$ lower bound of Das Sarma et al.\ [STOC'11], which applies for worst-case graphs and applies to all of the above optimization problems. For all of the problems except MST, this is the first distributed algorithm which takes $o(\sqrt n)$ rounds on a (nontrivial) restricted class of network graphs. Towards deriving these improved distributed algorithms, our main contribution is a general transformation that simulates any work-efficient PRAM algorithm running in $T$ parallel rounds via a distributed algorithm running in $T\cdot mix(G)\cdot 2^{O(\sqrt{\log n})}$ rounds. Work- and time-efficient parallel algorithms for all of the aforementioned problems follow by combining the work of Sherman [FOCS'13, SODA'17] and Peng and Spielman [STOC'14]. Thus, simulating these parallel algorithms using our transformation framework produces the desired distributed algorithms. The core technical component of our transformation is the algorithmic problem of solving \emph{multi-commodity routing}---that is, roughly, routing $n$ packets each from a given source to a given destination---in random graphs. For this problem, we obtain a...

研究の動機と目的

• 作業効率の良い並列アルゴリズムとCONGESTモデルにおける分散計算の間のギャップを埋めること。
• $\tilde{\Omega}(\sqrt{n}+D)$ラウンドの下界を、混合時間が小さいネットワークにおいては回避できることを示すこと。
• 良好に混合するグラフ上でPRAMアルゴリズムの効率的な分散シミュレーションを可能にする一般化された変換フレームワークの構築。
• 実用的なネットワークトポロジー（例：ピアツーピアネットワークやオーバーレイネットワーク）において、基本的なグラフ最適化問題の$\sqrt{n}$未満ラウンドの複雑さを達成すること。
• ランダムグラフ上でのマルチコムmodityルーティングの現状の最良成績を向上させること。この向上は、主な変換の基盤をなす。

提案手法

• 任意の作業効率の良いPRAMアルゴリズムが$T$並列ラウンドで実行される場合、それを$T \cdot {\tau_{\text{mix}}}(G) \cdot 2^{O(\sqrt{\log n})}$ラウンドで実行できる一般化されたシミュレーションフレームワークを提案する。
• Sherman, Peng, および Spielmanの最近の研究により得られた、SDD系、最大フロー、最短経路、トランスシッピングの作業効率の良い並列アルゴリズムを活用する。
• ランダムグラフ上での新しい分散マルチコムmodityルーティングアルゴリズムを設計し、$2^{O(\sqrt{\log n})}$ラウンドで実行可能にし、従来の$2^{O(\sqrt{\log n \log \log n})}$ラウンド手法を改善する。
• ランダムルーティング、負荷分散、分散ソーティングの組み合わせを用いて、CONGESTモデルにおけるPRAMのメモリアクセスパターンを効率的にシミュレートする。
• 各ノードが分散ソーティングと二分探索を用いて、出力部分グラフにおける自身の接続辺を局所的に再構築することで、出力の正しさを保証する。
• 入力および出力データがノード間で比例的に分散されているものと仮定することで、最終的な出力の局所的知識を可能にし、特定の問題にこの変換を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作業効率の良いPRAMアルゴリズムを、混合性の高いネットワークグラフ上で効率的な分散アルゴリズムに体系的に変換することは可能か？
• RQ2 混合時間が小さいネットワークにおいて、分散最適化の$\tilde{\Omega}(\sqrt{n}+D)$ラウンド下界を回避できるか？
• RQ3 ランダムグラフ上でのマルチコムmodityルーティングの最適ラウンド複雑さは何か？ また、$2^{O(\sqrt{\log n \log \log n})}$を上回る改善は可能か？
• RQ4 この変換フレームワークにより、実用的なネットワークトポロジー（例：最大フロー、最短経路）において$\sqrt{n}$未満ラウンドのアルゴリズムが得られるか？
• RQ5 ランダムグラフ上でのマルチコムmodityルーティングに対して、$\tilde{O}(1)$の混在度と遅延を達成する$\tilde{O}(1)$ラウンドの分散アルゴリズムを実現できるか？

主な発見

• 変換フレームワークにより、$(1\pm\epsilon)$-近似最大フロー、最短経路、トランスシッピングの分散アルゴリズムが${\tau_{\text{mix}}}(G) \cdot n^{o(1)}$ラウンドで実行可能である。
• 多項式対数の混合時間（例：ランダムグラフ、ピアツーピアオーバーレイ）を持つネットワークでは、アルゴリズムが$n^{o(1)}$ラウンドで実行され、$\tilde{\Omega}(\sqrt{n})$の下界を回避する。
• 非自明なグラフクラスにおいて、最大フロー、最短経路、トランスシッピングのための最初の$o(\sqrt{n})$ラウンド分散アルゴリズムが達成された。
• ランダムグラフ上での新しい分散マルチコムmodityルーティングアルゴリズムが$2^{O(\sqrt{\log n})}$ラウンドで実行可能となり、従来の$2^{O(\sqrt{\log n \log \log n})}$ラウンド手法を改善した。
• MST問題に関しては、${\tau_{\text{mix}}}(G) \cdot 2^{O(\sqrt{\log n})}$ラウンドで実行される改善されたアルゴリズムが得られ、この問題の既知の最良の境界と一致する。
• このフレームワークは一般性が高く、作業効率の良いPRAMアルゴリズムに適用可能であり、良好に混合するグラフ上で並列アルゴリズム設計の進歩を分散環境に移すことを可能にする。