[論文レビュー] New Estimates for Some Functions Defined Over Primes

Christian Axler|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2017

Analytic Number Theory Research被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、チェビシェフの $\vartheta$-関数の新たな明示的上限・下限を提示し、それらを用いて素数の個数関数 $\pi(x)$、$\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}$、$\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p}$、および積 $\prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right)$ の上限・下限を著しく改善した推定値を得ている。主な貢献は、既存の明示的推定値を強化し、短区間内の素数に関する新たな結果を導く、より鋭い誤差項の導出にある。

ABSTRACT

In this paper we first establish new explicit estimates for Chebyshev's $\vartheta$-function. Applying these new estimates, we derive new upper and lower bounds for some functions defined over the prime numbers, for instance the prime counting function $π(x)$, which improve the currently best ones. Furthermore, we use the obtained estimates for the prime counting function to give two new results concerning the existence of prime numbers in short intervals.

研究の動機と目的

• チェビシェフの $\vartheta$-関数 $\vartheta(x) = \sum_{p\leq x} \log p$ のより鋭い明示的上限・下限を確立すること。
• これらの上限・下限を用いて、素数の個数関数 $\pi(x)$ の改善された明示的推定値を導出すること。
• $\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}$、$\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p}$、および $\prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right)$ を含む、素数に関する和および積の推定値を精緻化すること。
• 改善された $\pi(x)$ の推定値を用いて、短区間内に素数が存在することに関する新たな結果を証明すること。

提案手法

• 解析的数論の技法とリーマン・ゼータ関数の既知の零点なし領域を用いて、$\vartheta(x)$ の新たな明示的上限・下限を導出する。
• $\pi(x)$ の積分恒等式 $\pi(x) = \frac{\vartheta(x)}{\log x} + \int_2^x \frac{\vartheta(t)}{t \log^2 t} dt$ に $\vartheta(x)$ の上限・下限を適用し、$\pi(x)$ を推定する。
• $\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p} = \log x + E + \frac{\vartheta(x)-x}{x} - \int_x^\infty \frac{\vartheta(y)-y}{y^2} dy$ の関係を用いて、$\log p/p$ の和の推定値を精緻化する。
• 積の恒等式 $\prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right) = \frac{e^{-\gamma}}{\log x} \exp\left(-\sum_{k=2}^\infty \sum_{p>x} \frac{1}{k p^k}\right)$ を適用し、オイラー積の上限を求める。
• 小規模な $x$ の値について、漸近的範囲を超えた範囲での上限の妥当性をコンピュータ支援による検証で確認する。
• コロボフ、ヴィノグラドフ、シューフェルトの既知の漸近展開および誤差項推定値を活用し、誤差項内の定数を精緻化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存の推定値を上回る、より鋭い $\vartheta(x)$ の明示的上限・下限を確立できるか？
• RQ2 改善された $\vartheta(x)$ の上限・下限は、$\pi(x)$ の明示的推定値にどのように反映されるか？
• RQ3 精緻化された $\pi(x)$ の推定値を用いて、短区間内に素数が存在することに関するより強い結果を証明できるか？
• RQ4 $\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p}$ や $\prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right)$ のような和および積の誤差項は、どの程度まで鋭くできるか？
• RQ5 これらの改善された上限・下限は、素数関連関数の有効な計算にどのような影響を与えるか？

主な発見

• すべての $x \geq 19,035,709,163$ に対して、$\vartheta(x) > x - \frac{0.15x}{\log^3 x}$ が成り立ち、従来の明示的推定値を改善する。
• すべての $x > 1$ に対して、$\vartheta(x) < x + \frac{0.15x}{\log^3 x}$ が確立され、より鋭い上限推定値が得られる。
• すべての $x \geq 49$ に対して、新しい上限 $\pi(x) < \frac{x}{\log x - 1 - \frac{1}{\log x} - \frac{3.15}{\log^2 x} - \cdots - \frac{4585}{\log^6 x}}$ が、現在知られている最良の推定値を上回る。
• すべての $x \geq 19,033,744,403$ に対して、新しい下限 $\pi(x) > \frac{x}{\log x - 1 - \frac{1}{\log x} - \frac{2.85}{\log^2 x} - \cdots - \frac{3428.7225}{\log^6 x}}$ が、従来のものよりも鋭い下限推定値を提供する。
• すべての $x \geq 6,034,256$ に対して、$x < p \leq x\left(1 + \frac{0.087}{\log^3 x}\right)$ を満たす素数 $p$ が存在する。これはベルトランの予想の改良である。
• すべての $x > 1$ に対して、$x < p \leq x\left(1 + \frac{198.2}{\log^4 x}\right)$ を満たす素数 $p$ が存在する。これは以前の短区間に関する結果を改善する。