[論文レビュー] New exact multi line soliton and periodic solutions with constant asymptotic values at infinity of the NVN integrable nonlinear evolution equation via dibar-dressing method

M. Yu. Basalaev, V. G. Dubrovsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2009

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$\bar{\partial}$-dressig法を用いて、無限遠における定常値が一定である(2+1)次元Nizhnik-Veselov-Novikov(NVN)方程式の新しい正確な多ラインソリトン解、周期的解、および関数的パラメータ解を構築する。この手法により、1次元の摂動付きトレボリック方程式および2次元の定常シュレーディンガー方程式の正確なポテンシャルが得られ、双曲型および楕円型NVNの場合の両方で有効である。$\epsilon \to 0$ の極限において、非特異なラインソリトン解および周期的解が得られる。

ABSTRACT

The classes of exact multi line soliton, periodic solutions and solutions with functional parameters, with constant asymptotic values at infinity u|_{xi^2+eta^2->infty}->-epsilon, for the hyperbolic and elliptic versions of the Nizhnik-Veselov-Novikov (NVN) equation via dibar-dressing method of Zakharov and Manakov were constructed. At fixed time these solutions are exactly solvable potentials correspondingly for one-dimensional perturbed telegraph and two-dimensional stationary Schroedinger equations. Physical meaning of stationary states of quantum particle in exact one line and two line soliton potential valleys was discussed. In the limit epsilon->0 exact special solutions u^{1}, u^{2} (line solitons and periodic solutions) were found which sum u^{1}+u^{2}(linear superposition) is also exact solution of NVN equation.

研究の動機と目的

• 空間無限遠における非ゼロの定常値を有する(2+1)次元Nizhnik-Veselov-Novikov(NVN)方程式の正確な解を構築すること。
• $\bar{\partial}$-dressig法を拡張し、双曲型および楕円型NVN方程式の両方に対して多ラインソリトン解および周期的解を生成すること。
• 1次元摂動付きトレボリック方程式および2次元定常シュレーディンガー方程式における正確に解けるポテンシャルとNVN方程式との関係を確立すること。
• 多ラインソリトンポテンシャルの谷に形成される量子粒子状態の物理的解釈を分析すること。
• $\epsilon \to 0$ の極限における特別な解を導出すること。これには、正確な解の線形重ね合わせが含まれる。

提案手法

• $\bar{\partial}$-dressig法を、$ (\partial_{\xi\eta}^2 + \tilde{u})\psi = \epsilon\psi $ という補助線形問題に適用する。ここで $ u = \tilde{u} - \epsilon $ であり、$ \tilde{u} \to 0 $ が $ \xi^2 + \eta^2 \to \infty $ のとき成り立つ。
• 複素解析的手法、特に非局所的リーマン＝ヒルベルト問題および$\bar{\partial}$-問題形式を用いた逆問題の手法により解を構成する。
• 波動関数 $ \psi $ を求め、散乱変換の$ \bar{\partial} $-データを用いた再構成公式によりポテンシャル $ u $ を再構成する。
• 楕円型の場合（$ \sigma = i $）には、方程式は $ V_{\text{Schr}} = -2\tilde{u} $、$ E = -2\epsilon $ を満たす2次元定常シュレーディンガー方程式に簡略化され、直接的な物理的解釈が可能になる。
• 解は $ N $ 個の実関数的パラメータ $ \alpha_n $ および $ i\beta_{n\bar{z}} $ に依存し、$ A $-行列の行列式表現により特異性が保証される。
• $ N=1 $ の場合、ラインソリトン解および周期的解の明示的表現が得られ、正確な形 $ u = -\epsilon + \epsilon \frac{2\sin^2(\delta/2)}{\cosh^2((\varphi + \varphi_0)/2)} $ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\bar{\partial}$-dressig法を用いて、無限遠における定常値が一定であるNVN方程式の正確な多ラインソリトン解および周期的解をどのように生成できるか。
• RQ2 1本および2本のラインソリトンポテンシャルが形成するポテンシャル井戸内における定常量子状態の物理的意義は何か。
• RQ3 NVN方程式の解は、摂動付きトレボリック方程式および2次元定常シュレーディンガー方程式における正確に解けるポテンシャルとどのように関係しているか。
• RQ4 $\epsilon \to 0$ の極限における解の振る舞いは何か。また、正確な解の線形重ね合わせは正確な解のまま保たれるか。
• RQ5 $\bar{\partial}$-dressig法は、豊富な関数的パラメータ依存性を持つ非特異な解を生成できるか。

主な発見

• 本稿では、無限遠における定常値 $ u \to -\epsilon $ を有する双曲型および楕円型NVN方程式の両方に対して、正確な多ラインソリトン解および周期的解が構築された。
• $ N=1 $ の場合、非特異なラインソリトン解が $ u = -\epsilon + \epsilon \frac{2\sin^2(\delta/2)}{\cosh^2((\varphi + \varphi_0)/2)} $ の形で得られ、ここで $ \delta = \arg\mu_1 - \arg\lambda_1 $ であり、$ \varphi $ は $ \mu_1, \lambda_1 $ および時間発展を含む複素位相関数である。
• $\epsilon \to 0$ の極限において、解は正確なラインソリトン解および周期的解に簡略化され、その線形重ね合わせ $ u^{(1)} + u^{(2)} $ もNVN方程式の正確な解のまま保たれる。
• $ N=1 $ の $ A $-行列の行列式は $ \det A = \left(1 + \frac{1}{4}\partial_z^{-1}(\alpha_1\beta_1) + \frac{1}{4}\partial_{\bar{z}}^{-1}(\bar{\alpha}_1\bar{\beta}_1)\right)^2 $ と表現され、特異性の保証がなされる。
• この手法により、$\sigma = 1$ の場合に1次元摂動付きトレボリック方程式の正確なポテンシャル、$\sigma = i$ の場合に2次元定常シュレーディンガー方程式の正確なポテンシャルとしての解が同時に得られる。
• 解は $ N $ 個の実関数的パラメータ $ \alpha_n $ および $ i\beta_{n\bar{z}} $ に依存し、$ N=1 $ の場合に明示的な公式が導出され、豊富な解析的構造と物理的関連性が示された。