[論文レビュー] New Examples and Non-examples of Mori Dream Spaces when Blowing up Toric Surfaces

Zhuang He|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2017

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、トロピカルな表面のピカール数1の点での吹き上げがモーリー・ドリーム・スペース（MDS）である条件を調査し、可算無限個の平面補間問題との関係を確立する。ゴンサレスとカラの結果を一般化することで、MDSの新しい例と反例を提示し、特定の補間問題が解をもつ場合にのみ非MDSとなることが示され、コクス環の有限生成性を特徴づける数値的基準が得られる。

ABSTRACT

We study the question of whether the blow-ups of toric surfaces of Picard number one at the identity point of the torus are Mori Dream Spaces. For some of these toric surfaces, the question whether the blow-up is a Mori Dream Space is equivalent to countably many planar interpolation problems. We state a conjecture which generalizes a theorem of Gonzalez and Karu. We give new examples and non-examples of Mori Dream Spaces among these blow-ups.

研究の動機と目的

• 重み付き射影平面 $\mathbb{P}(a,b,c)$ に対して、トロスの単位元点での吹き上げがモーリー・ドリーム・スペースであるかどうかを特定すること。
• ゴンサレスとカラが提示した反例基準を、より広いクラスのトロピカル表面へ一般化すること。
• トロピカル表面の吹き上げのMDS性と、$\mathbb{P}^2$ 内の可算無限個の平面補間問題の可解性との間の関係を確立すること。
• 削減度と傾き配置に基づく数値的基準を用いて、MDSおよび非MDSの具体的な例と反例を新たに提示すること。
• 特に反カノニカル除 canonical divisor が大でない場合に、トロピカル表面の吹き上げがMDSでなくなる条件をより洗練された形で理解すること。

提案手法

• variety がモーリー・ドリーム・スペースであるかどうかの問題を、$\mathbb{P}^2$ 内の家族の平面補間問題の可解性に還元する。
• コクス環と有限生成性の理論を適用する：多様体がMDSであることは、そのコクス環が有限生成であることと同値である。
• 特に $d' \geq 2$ の場合に、削減度 $d'$ と傾き配置を用いて吹き上げを分類する。
• 幅 $w = cg^2 / ab < 1$ と傾き不等式に基づく数値的基準を用いて、非MDSのケースを特定する。
• 小規模な $d'$ に対してコンピュータ支援分類を実施し、特に $d' = 5,7,9$ の場合に、特定の傾き集合 $S$ と $T$ の下で反例が確認される。
• ゴンサレスとカラの非MDS基準を一般化し、三重組 $(a,b,c)$ のより広い族に対して、予想（予想2.10）を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの三重組 $(a,b,c)$ に対して、トロスの単位元点での $\mathbb{P}(a,b,c)$ の吹き上げがモーリー・ドリーム・スペースであるか？
• RQ2 ピカール数1のトロピカル表面の吹き上げがモーリー・ドリーム・スペースでなくなるのはいつか？ その失敗の条件は何か？
• RQ3 これらの吹き上げのMDS性は、可算無限個の平面補間問題の可解性とどのように関係しているか？
• RQ4 傾き配置と削減度に基づいて、MDSと非MDSの吹き上げを区別する数値的基準を導出できるか？
• RQ5 削減度 $d'$ と幅 $w$ は、吹き上げのコクス環の有限生成性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 吹き上げ $\operatorname{Bl}_e\mathbb{P}(a,b,c)$ がモーリー・ドリーム・スペースでないのは、$\mathbb{P}^2$ 内の可算無限個の平面補間問題がすべて解をもつ場合に限る。
• 削減度 $d' = 5, 7, 9$ の三重組に対して、新たな反例が発見された。具体的には、$S$ と $T$ を特定の条件下で、$(a,b,c) = (7, 3, 5)$, $(7, 3, 7)$, $(7, 3, 9)$ が該当する。
• $d' \geq 2$ で $d' \cdot s_2 \notin \mathbb{Z}$ を仮定する場合、唯一の反例は以下の三通りに限られる：$S = \{3\}, T = \{2,4\}, d' = 5$；$S = \{3,5\}, T = \{2,4,6\}, d' = 7$；$S = \{3,5,7\}, T = \{2,4,6,8\}, d' = 9$。
• 論文は、削減度 $d' = 0$ または $d' = 1$ の場合に吹き上げがMDSであることを確認し、傾き不等式と幅 $w < 1$ に基づく数値的基準を提示した。
• 本手法により、新しい基準（補題2.16）が得られ、既存の結果を統合し、$b,c \leq 70$ の $\mathbb{P}(7,b,c)$ の吹き上げを削減度と補間問題の可解性に基づいて分類可能であることを示した。
• コンピュータ支援による検証により、$d' = 5,7,9$ において、与えられた制約下で上記の三つのケース以外に追加の反例は存在しないことが確認された。