[論文レビュー] New Examples of Biharmonic Submanifolds in $CP^n$ and $S^{2n+1}$

Wei Zhang|ArXiv.org|May 27, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ホフプ・ファイブレーションを用いて一般化されたクラッカー・トーラスを上昇させることで、複素射影空間 $\mathbb{C}P^n$ および球面 $S^{2n+1}$ における新しい正則双調和部分多様体の例を構成する。双調和方程式から導かれる特定の曲率および半径条件を解くことにより、ある種のラグランジュ型およびクラッカー・トーラス型の実超多様体が、非自明な代数方程式を満たす半径を持つ場合に限り双調和であることが示され、非最小の双調和部分多様体の明示的な新しい族が得られる。

ABSTRACT

We construct biharmonic real hypersurfaces and Lagrangian submanifolds of Clifford torus type in $CP^n$ via the Hopf fibration; and get new examples of biharmonic submanifolds in $S^{2n+1}$ as byproducts .

研究の動機と目的

• 広範な研究にもかかわらず、依然として稀である $\mathbb{C}P^n$ および $S^{2n+1}$ における新しい正則双調和部分多様体の例を構成すること。
• 非正曲率の環境空間における一般化されたチエン予想に応えるために、非最小の双調和部分多様体を提供すること。
• 既知の双調和トーラスに関する結果を拡張し、$\mathbb{C}P^n$ におけるクラッカー型トーラスの双調和性を半径制約によって特徴付けること。
• 双エネルギー汎関数の第二変分を用いて、これらの新しい双調和部分多様体の安定性を分析すること。

提案手法

• ホフプ・ファイブレーションを用いて、$S^{2n+1}$ から $\mathbb{C}P^n$ へ一般化されたクラッカー・トーラス $S^{2p+1}(r) \times S^{2q+1}(s)$ を上昇させ、実超多様体およびラグランジュ部分多様体を構成する。
• $\mathbb{C}P^n$ および $S^{2n+1}$ における張力場の双テンソル場および法成分・接成分を分析することで、双調和条件を導出する。
• ホフプ・ファイブレーションが第二基本形式および平均曲率の水平成分を保存することを用い、$S^{2n+1}$ における幾何学と $\mathbb{C}P^n$ における幾何学を関連付ける。
• 平行平均曲率の仮定の下で、双調和条件から生じる半径 $r$, $s$ および $a_i$ を含む代数方程式を解く。
• 双エネルギーの第二変分公式を適用して安定性を評価し、平均曲率ベクトル場に沿った $E_2$ の第二導関数を計算する。
• 具体的な $n$, $p$, $q$ に対して、明示的な半径解を求めるために記号計算（Mathematica）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面 $S^{2n+1}$ 内の一般化クラッカー・トーラス $S^{2p+1}(r) \times S^{2q+1}(s)$ の像が、$\mathbb{C}P^n$ で双調和であるための半径 $r$ および $s$ に関する条件は何か？
• RQ2 半径 $a_i$ を持つラグランジュ型クラッカー・トーラスが $\mathbb{C}P^n$ で双調和であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 最小でないクラッカー・トーラス型の正則双調和部分多様体が $\mathbb{C}P^n$ に存在し得るか？
• RQ4 包含写像の変動に対して、これらの部分多様体の双調和構造は安定か？
• RQ5 実超多様体とラグランジュ部分多様体の間で、$\mathbb{C}P^n$ 内の曲率および平均曲率条件はどのように異なるか？

主な発見

• 一般化クラッカー・トーラス $S^{2p+1}(r) \times S^{2q+1}(s)$ の像 $M^C_{p,q}(r,s)$ は、$(s/r)^2(2p+1) + (r/s)^2(2q+1) = 2(n+2)$ が成り立つ場合に限り、$\mathbb{C}P^n$ で双調和である。
• 半径 $a_i$ を持つ標準クラッカー・トーラス $T^{n+1} \subset S^{2n+1}$ は、$a_i d - 1/a_i^3 = 2(n+1)((n+1)a_i - 1/a_i)$ を満たす場合に限り、双調和である。ここで $d = \sum 1/a_i^2$ である。
• $T^{n+1}$ の $S^1$-作用による商 $T^n_C$ は $\mathbb{C}P^n$ 内でラグランジュ的であり、$a_i d - 1/a_i^3 = 2(n+3)((n+1)a_i - 1/a_i)$ を満たす場合に限り双調和である。
• $n=4$ に対して半径 $r$ および $s$ の明示的解が得られ、各 $(p,q)$ 組に対して4つの異なる双調和トーラスが得られる。
• 平均曲率ベクトルに沿った双エネルギーの第二変分は負であり、構成されたすべての双調和トーラスが不安定であることが示された。
• 構成された部分多様体のウェイングルテン作用素の固有値は非負であり、すべての固有値が非負であるような部分多様体は安定にはなり得ない。