[論文レビュー] New examples of complete Calabi-Yau metrics on $\mathbb{C}^n$ for $n\ge 3$

Ronan J. Conlon, Frédéric Rochon|arXiv (Cornell University)|May 24, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、すべての $ n \geq 3 $ に対して、平坦な計量とは等長でない、完全なカラビ-ヤウ計量の新しい例を $ \mathbb{C}^n $ 上に構成する。これらの計量は、ユークリッド的体積成長を示し、無限遠における特異な接空間錐が $ \mathbb{C} \times V_{0,k} $ の形をしている。ここで $ V_{0,k} $ は、ケーラー・アインシュタインのファノ超曲面 $ F_k \subset \mathbb{CP}^{n-1} $ の上にあるカラビ-ヤウ錐である。構成法は、特異な錐 $ V_{0,k} \times \mathbb{C} $ の滑らか化に起因する変形 $ P_k(z_1,\dots,z_n) = \epsilon z_{n+1} $ を用い、その結果得られる滑らかな多様体上での複素モンジュ・アムペール方程式の解法に基づく。主な貢献は、すべての $ \mathbb{C}^n $ 上のユークリッド的体積成長を示すカラビ-ヤウ計量が平坦でなければならないというティアンの予想に対する反例の提供である。

ABSTRACT

For each $n\ge 3$, we construct on $\mathbb{C}^n$ examples of complete Calabi-Yau metrics of Euclidean volume growth having a tangent cone at infinity with singular cross-section.

研究の動機と目的

• $ n \geq 3 $ に対して、すべての $ \mathbb{C}^n $ 上のユークリッド的体積成長を示すカラビ-ヤウ計量が平坦でなければならないというティアンの予想を反証すること。
• ユークリッド的体積成長と無限遠における特異な接空間錐を有する、$ \mathbb{C}^n $ 上の完全カラビ-ヤウ計量の明示的例を構成すること。
• 同じ複素多様体 $ \mathbb{C}^n $ 上に、同じケーラー類に属するが、漸近的幾何が異なる、非等長な複数のカラビ-ヤウ計量が存在しうることを示すこと。
• 漸近的に錐型のカラビ-ヤウ計量の理解を拡張し、無限遠における特異な断面を有するような計量の構成を行うこと。

提案手法

• ケーラー・アインシュタインのファノ超曲面 $ F_k \subset \mathbb{CP}^{n-1} $ の上に構成された、$ \mathbb{C}^n $ の次数 $ k $ で $ 2 \leq k \leq n-1 $ を満たす、カラビ-ヤウ錐 $ V_{0,k} $ の $ \mathbb{C}^* $-同変な変形を用いる。
• 方程式 $ P_k(z_1,\dots,z_n) = \epsilon z_{n+1} $ を用いて、$ V_{0,k} \times \mathbb{C} $ の滑らか化 $ W_{\epsilon,k} $ を構成し、これは $ \mathbb{C}^n $ に正則同型である。
• $ W_{\epsilon,k} $ を、二つの境界超曲面 $ \mathcal{H}_1 $ と $ \mathcal{H}_2 $ を持つ、コーナーを持つ多様体 $ \mathcal{W}_{\epsilon,k} $ にコンパクト化し、計量の漸近的挙動をモデル化する。
• 無限遠で、計量が $ g_{V_{0,k}} \times g_{\mathbb{C}} $ の積計量に類似する、漸近的にカラビ-ヤウ計量を $ W_{\epsilon,k} $ 上に構成する。
• 複素モンジュ・アムペール方程式を解くことで、漸近的にカラビ-ヤウ計量を、真のカラビ-ヤウ計量へと変形するための摂動法を適用する。
• エッジ型特異性を有する重み付きソボレフ空間上でのラプラシアンの写像性質を用い、線形化された作用素のフレドホルム理論および可逆性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ n \geq 3 $ に対して、ユークリッド的体積成長を示し、無限遠で特異な接空間錐を有する、非平坦な完全カラビ-ヤウ計量が存在しうるか？
• RQ2 ティアンの予想、すなわち、すべての $ \mathbb{C}^n $ 上のユークリッド的体積成長を示すカラビ-ヤウ計量が平坦でなければならないという主張は、$ n \geq 3 $ に対して正しいか？
• RQ3 同じ複素多様体 $ \mathbb{C}^n $ 上に、同じケーラー類に属するが、漸近的幾何が異なる非等長な複数のカラビ-ヤウ計量が存在しうるか？
• RQ4 ファノ断面を有する特異カラビ-ヤウ錐の滑らか化上に完全カラビ-ヤウ計量が存在するための必要十分条件は何か？

主な発見

• 各 $ n \geq 3 $ および各次数 $ k $（$ 2 \leq k \leq n-1 $）のケーラー・アインシュタインのファノ超曲面 $ F_k \subset \mathbb{CP}^{n-1} $ に対して、$ \mathbb{C}^n $ 上にユークリッド的体積成長を示し、無限遠での接空間錐が $ \mathbb{C} \times V_{0,k} $ である完全カラビ-ヤウ計量が存在する。
• これらの計量は、$ \mathbb{C}^n $ 上の標準的な平坦計量とは等長でないため、$ n \geq 3 $ に対してティアンの予想に対する反例を提供する。
• 構成法は、方程式 $ P_k(z_1,\dots,z_n) = \epsilon z_{n+1} $ を用いた、特異錐 $ V_{0,k} \times \mathbb{C} $ の滑らか化に依存しており、これにより $ \mathbb{C}^n $ に正則同型な多様体が得られる。
• 計量の漸近的挙動は、$ V_{0,k} $ 上のカラビ-ヤウ錐計量と $ \mathbb{C} $ 上のユークリッド計量との積計量に類似しており、計量が無限遠でこのモデルに減少する。
• エッジ型特異性を有する重み付きソボレフ空間上でのラプラシアンのフレドホルム理論が確立され、線形化された複素モンジュ・アムペール作用素の可逆性が保証される。
• 得られたカラビ-ヤウ計量が多項式的正則性を示し、離散固有値を有することを示し、ラプラシアンの逆作用素が制御された減衰を示すエッジ擬微分作用素のクラスに属することを示した。