[論文レビュー] New examples of period collapse

Dan Cristofaro‐Gardiner, Teresa Xueshan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Ehrhart理論における周期的崩壊の新しい例を提示する。ここで周期的崩壊とは、多面体のEhrhart関数の周期がその分母よりも小さい場合を指す。頂点が(0,0)、(1/u,0)、(0,1/v)である無理数三角形が、有理数関数または多項式関数のEhrhart関数をとる条件を確立し、高次元の例も構成している。特に、非有理数頂点を持つ3次元の単体で、Ehrhart関数が固定された3次多項式である例も含む。

ABSTRACT

"Period collapse" refers to any situation where the period of the Ehrhart function of a polytope is less than the denominator of that polytope. We study several interesting situations where this occurs, primarily involving triangles. For example: 1) we determine exactly when the Ehrhart function of a right triangle with legs on the axes and slant edge with irrational slope is a polynomial; 2) we find triangles with periods given by any even-index k-Fibonacci number, and larger denominators; 3) we construct several higher dimensional examples. Several related issues are also discussed, including connections with symplectic geometry.

研究の動機と目的

• 非有理数多面体、特に非有理数頂点座標を持つ三角形が、分母が無限大であってもEhrhart関数が準多項式または多項式関数となる条件を調査すること。
• このような三角形が擬似有理的または擬似整数的であるための明確な条件を同定し、有理数多面体に関する既知の結果を拡張すること。
• 高次元における周期的崩壊の例を構成すること。特に、非有理数頂点を持つ3次元単体でEhrhart関数が多項式である例を含めること。
• 周期的崩壊とシンプレクティック幾何学との関係を探索し、古典的Ehrhart性質（例えば、双対性や非負性）が非有理数設定においても保持されるかを検討すること。

提案手法

• 代数的数論を用いて、共役な二次無理数uとv、およびそれらの逆数の和が有理数となる条件を分析し、これにより準多項式Ehrhart関数が得られることを示す。
• P-再帰列の理論を応用し、特定の非有理数三角形のEhrhart関数がP-再帰でないことを示し、したがって有理数Ehrhart関数ではあり得ないことを証明する。
• 既知の2次元三角形のEhrhart関数を活用して、非有理数多面体に対する反復積分を用いた高次元例の構成。
• フィボナッチ数列に類似した数列を含む有理数多面体の列に対する極限的議論を用い、極限的な非有理数多面体のEhrhart多項式を導出する。
• 特定の非有理数単体のEhrhart関数を、スケーリングされた多面体内の格子点の和を直接計算することで求める。床関数の恒等式と有理数近似を用いる。
• tの偶奇による場合分けによる証明。無理数定数（例：2+√2と2−√2）を含む恒等式を用いて、和を多項式表現に簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点が(0,0)、(1/u,0)、(0,1/v)である非有理数三角形のEhrhart関数が、準多項式または多項式関数である条件は何か？
• RQ2 非有理数頂点を持つ高次元多面体においても周期的崩壊が生じうるか？ もし可能であれば、その条件は何か？
• RQ3 頂点パラメータの代数的性質（例：共役な二次無理数）とEhrhart関数の周期性との関係は何か？
• RQ4 双対性や非負性といった古典的Ehrhart性質が、準多項式Ehrhart関数をもつ非有理数多面体へと拡張可能か？
• RQ5 極限的な非有理数多面体のEhrhart関数は、同じEhrhart多項式を持つ有理数多面体の列から導出可能か？

主な発見

• 頂点が(0,0)、(1/u,0)、(0,1/v)である非有理数三角形が擬似有理的であるための必要十分条件は、u+vと1/u+1/vがそれぞれ有理数の正の整数αとβに等しいことであり、そのEhrhart関数の周期はαを割り切る。
• その三角形が擬似整数的であるための必要十分条件は、上記の条件が満たされるとともに、(α,β)が(1,1)、(3,3)、または(2,4)のいずれかであることである。最小面積は、u=τ²、v=1/τ²のとき、τを黄金比とする。
• 任意の偶数番目のk-フィボナッチ数に対して、その数を周期とするEhrhart関数をもつ三角形が存在する。これは、有理数多面体を超える豊富な周期的崩壊の族を示している。
• 頂点が(0,0,0)、(1/2,0,0)、(0,2+√2,0)、(0,0,2−√2)である3次元単体のEhrhart関数は、f(t) = (1/6)t³ + t² + (11/6)t + 1という多項式に等しく、非有理数頂点座標を持つにもかかわらず成立する。
• 極限的な単体のEhrhart関数は、同じEhrhart多項式を持つ有理数単体の列に対する極限的議論により導出されており、極限の外挙動に依存しない独立した確認がなされている。
• 非有理数単体のEhrhart関数は、床関数の恒等式と無理数定数を用いた直接的和分と簡略化により多項式であることが示され、結果として有理数係数の多項式が得られている。