[論文レビュー] New Examples of Simple Jordan Superalgebras over an Arbitrary Field of Characteristic Zero

V. N. Zhelyabin|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、任意の零標数体上で、$J(\Gamma,D)$ 型のジョルダン超代数に同型でないが、その分数超代数が $J(\Gamma,D)$ 型に同型である、単位的で単純な特別ジョルダン超代数を構成する。この構成は、特定の微分を備えた多項式環の商を用い、チェン＝カック構成の修正版を用いて新たな超代数を定義する。これにより、すべてのこのような超代数が $J(\Gamma,D)$ に同型でなければならないという予想に対する反例が得られる。

ABSTRACT

I.P. Shestakov constructed an example of a unital simple special Jordan superalgebra over the field of real numbers. It turned out to be a subsuperalgebra of the Jordan superalgebra of vector type, but not isomorphic to a superalgebra of this type. Moreover, its superalgebra of fractions is isomorphic to a Jordan superalgebra of vector type. Author constructed a similar example of a Jordan superalgebra over a field of characteristic~0 in which the equation $t^2+1=0$. In this article we present an~example of a Jordan superalgebra with the same properties over an arbitrary field of characteristic 0. A similar example of a superalgebra is found in the Cheng-Kac superalgebra.

研究の動機と目的

• 任意の零標数体上で、$J(\Gamma,D)$ 型のジョルダン超代数に同型でない、単位的で単純な特別ジョルダン超代数を構成すること。
• 従来、$\mathbb{R}$ や $t^2+1=0$ が解を持たない体に限定されていた例を、零標数の任意の体に拡張すること。
• すべての単純特別ジョルダン超代数で、可換な偶数部とランク1の射影的奇数部を持つものは $J(\Gamma,D)$ に同型でなければならないという予想に対する反例を提供すること。
• カンタリーニとカックが提起した、一般の設定下でのこのような非同型例の存在に関する問いに答えること。

提案手法

• 零標数体 $F$ 上で、$\Gamma = F[x,y]/(x^2 + y^4 - 1)$ と定義する可換結合的代数を構成する。
• 微分 $D = 2y^3 \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial y}$ を $\Gamma$ に導入し、$\Gamma$ が $D$-単純であることを示す。
• カンターの二重構成を用いて、チェン＝カック超代数 $CK(\Gamma,D)$ をジョルダン超代数として構成する。
• 偶数部が $A + w_1A + w_2A + w_3A$、奇数部が $\overline{M} + x_1\overline{M} + x_2\overline{M} + x_3\overline{M}$ であるような $CK(\Gamma,D)$ の部分超代数 $GCK(A,\Delta)$ を定義する。ここで $A$ は $\Gamma$ の部分代数、$M$ は $A$-加群である。
• 任意の非ゼロイデアルが 1 を含むことを示すことで単純性を証明する。これにはアソシエータの恒等式と $1 \in (A, \overline{M}, \overline{M})$ であることを利用する。
• $GCK(A,\Delta)$ が $J(\Gamma,D)$ に同型でないことを示すが、その分数超代数は $J(\Gamma,D)$ に同型である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の零標数体上で、$J(\Gamma,D)$ 型のジョルダン超代数に同型でない、単位的で単純な特別ジョルダン超代数を構成できるか？
• RQ2 分数超代数が $J(\Gamma,D)$ に同型であるという性質は、単純特別ジョルダン超代数の文脈において、元の超代数自身が $J(\Gamma,D)$ に同型であることを示唆するか？
• RQ3 $J(\Gamma,D)$ に同型でなければならないという予想に対する反例は存在するか？ ただし、可換な偶数部とランク1の射影的奇数部を持つ単純特別ジョルダン超代数に限る。
• RQ4 $t^2 + 1 = 0$ が解を持たない体上で、$\mathbb{R}$ に制限せず、このような例を構成できるか？
• RQ5 チェン＝カック超代数構成は、$J(\Gamma,D)$ に同型でない新しい単純ジョルダン超代数を生じるか？

主な発見

• $GCK(A,\Delta)$ は、任意の零標数体 $F$ 上で、単位的で単純な特別ジョルダン超代数である。
• $GCK(A,\Delta)$ は、その分数超代数が $J(\Gamma,D)$ に同型であるにもかかわらず、$J(\Gamma,D)$ 型のジョルダン超代数に同型でない。
• この構成は、$\mathbb{R}$ や $t^2 + 1 = 0$ が解を持たない体に限定されていた従来の例を、零標数の任意の体に拡張する。
• $GCK(A,\Delta)$ の奇数部は、ランク1の有限生成射影的 $A$-加群ではあるが、自由加群ではない。このため、$J(\Gamma,D)$ に同型でない。
• 単純性の証明は、アソシエータの恒等式と $1 \in (A, \overline{M}, \overline{M})$ であることを利用しており、これにより任意の非ゼロイデアルが単位を含むことが保証される。
• カンタリーニとカックが提起した、一般の設定下でのこのような非同型例の存在に関する問いに対して、肯定的な答えが得られる。