[論文レビュー] New examples of terminal and log canonical singularities

Janós Kollár|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、完全交差上での新規なブローアップ構成を用いて、高次元における端的特異点および対数正則特異点の新しい例を構成する。4次元の端的特異点が、自明な類群と単連結な穴あき近傍を持つことを証明し、与えられた曲面の位相を反映する解体のコホモロジーと基本群を持つ3次元の孤立な対数正則特異点を示す。これは、双有理幾何における特異点の理解を前進させる。

ABSTRACT

We give new examples of terminal and log canonical singularities.

研究の動機と目的

• 既知の族を超えた高次元における端的および対数正則特異点の新しい例を構成すること。
• このような特異点の解体における位相的およびコホモロジー的不変量（例：基本群、コホモロジー）を調査すること。
• 穴あき空間または解体の基本群が任意の有限または無限群を実現できるかどうかを検討すること。
• 高次元特異点において、正則標準類と類群が制御可能かどうかを特定すること。
• 超曲面および錐特異点に関する以前の結果を、所望の幾何的および位相的性質を備えたより一般的な構成へと拡張すること。

提案手法

• 線分束 $L(-Z)$ の $n-1$ 個の一般的切断によって定義される完全交差 $Y \subset P$ 上でのブローアップ構成を用いる。ここで $Z \subset P$ は codimension $n$ の局所完備交差である。
• 通常の $Z$ のイデアルのブローアップに代わる、相対Proj $B_{(-Z)}Y := \operatorname{Proj}_Y \bigoplus_{m=0}^\infty \mathcal{O}_Y(mZ)$ を定義する。
• $B_{(-Z)}Y$ がコhen-Macaulay であり、$Z$ が正則交叉特異点を持つとき、例外的除集合が $Z$ 上の $\mathbb{P}^1$-バンドルであることを示す。
• $Z$ が正則交叉特異点のみを持ち、$\dim Z \leq 4$ であれば、$B_{(-Z)}Y \setminus Z$ は $Z$ の近傍で滑らかであり、標準バンドルが $\omega_{B_{(-Z)}Y} \cong \pi^* \omega_Y \cong \pi^*(\omega_P \otimes L^{n-1})|_Y$ であることを証明する。
• エタール局所的計算を用いて、ブローアップのスキーム的構造および行列式的条件による特異点集合の挙動を検証する。
• この構成を用いて、与えられた滑らかな多様体 $Z$ を、基本群と解体のコホモロジーが制御された孤立特異点 $(0 \in X)$ の例外的集合として実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の滑らかな多様体 $Z$ は、高次元における孤立特異点 $(0 \in X)$ の解体の例外的集合として現れるか？
• RQ2 対数正則特異点の解体 $Y \to X$ に対して、$\pi_1(Y)$ および $\pi_1(X \setminus \{0\})$ の可能な基本群は何か？
• RQ3 対数正則特異点の解体のコホモロジー $R^1p_*\mathcal{O}_Y$ は、任意のホッジ構造や位相的不変量を実現できるか？
• RQ4 4次元の端的特異点を、自明な類群と単連結な穴あき近傍を持つように構成できるか？
• RQ5 対数端的特異点の滑らかな局所の基本群は無限大になり得るか？

主な発見

• 任意の $r \geq 4$ に対して、$K_{X_r}$ がカーティエであり、$X_r \setminus \{0\}$ が単連結で、$\operatorname{Cl}(X_r)$ が自明であり、埋め込み次元が $r$ であるような、4次元の端的特異点の局所 $(0 \in X_r)$ が存在する。
• 境界のない任意の連結な2次元多様体 $F$ に対して、孤立な対数正則3次元特異点 $(0 \in X(F))$ が存在し、任意の解体 $p: Y \to X$ に対して $R^1p_*\mathcal{O}_Y \cong H^1(F, \mathbb{C})$ が成り立つ。
• 解体 $Y$ の基本群 $\pi_1(Y)$ は $\pi_1(F)$ に同型であり、$\pi_1(X \setminus \{0\})$ は $\pi_1(F)$ を部分群とする巡回群による拡張である。
• $Z$ が局所完備交差であり、ある線分束の条件を満たす限り、任意の滑らかな多様体 $Z$ を、孤立特異点 $(0 \in X)$ の解体の例外的集合として実現できる。
• 得られる特異点は、$Z$ の特異点に応じて端的または対数正則であり、正則標準類とコホモロジーの両方を制御可能である。
• この方法により、任意の基本群 $\pi_1(F)$ を、対数正則3次元特異点の解体の $\pi_1(Y)$ として実現でき、一般には有限性の障害がないことが示された。