[論文レビュー] New Existence Theorems about the Solutions of Some Stochastic Integral Equations

Xuemei Chen, Yingying Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2012

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、バナッハの収縮写像原理が要請する条件よりも弱い条件下で、確率積分方程式の解の存在に関する新しい存在定理を、シュャウダーの不動点定理を用いて確立している。著者らは、確率過程空間内の有界で閉じた凸部分集合上にコンパクト作用素を構成し、古典的手法と比較してより緩い連続性および有界性の仮定のもとで、解の存在（但し一意性は保証しない）を証明している。

ABSTRACT

Picard's iteration has been used to prove the existence and uniqueness of the solution for stochastic integral equations, here we use Schauder's fixed point theorem to give a new existence theorem about the solution of a stochastic integral equation, our theorem can weak some conditions gotten by applying Banach's fixed point theorem.

研究の動機と目的

• シュャウダーの不動点定理を用いて、確率積分方程式の解の存在に関する新しい定理を構築すること。
• バナッハの不動点定理によって導かれるものと比較して、解の存在に要する条件を弱める。
• フィルタリングおよびファイナンシャルモデリングに現れる確率積分方程式に適用可能な枠組みを提供すること。
• シュャウダーの定理が、収縮写像原理よりもきめの粗い仮定のもとでも解の存在を保証できることを示すこと。

提案手法

• 形 $ x(t;\omega) = h(t_0;\omega) + \int_a^t \sigma(s,x(s;\omega)) dB(s) + \int_a^t f(s,x(s;\omega)) ds $ の確率積分方程式にシュャウダーの不動点定理を適用する。
• 解空間 $ X = L_{ad}^2([a,b] \times \Omega) $ を定義し、閉かつ有界で凸な部分集合 $ M = \{ X_t \in X : \|X_t\| \leq r \} $ を定義する。
• 積分方程式の右辺によって定義される作用素 $ A $ を $ M $ から自身へ写像するように構成する。
• 伊藤等長性と係数の有界性を用いて、$ L^2 $-空間における等連続性および相対コンパクト性を示すことにより、$ A $ がコンパクトであることを証明する。
• 条件 (6) を用いて $ AX_t $ の $ L^2 $-ノルムを評価することにより、$ A(M) \subseteq M $ を確認する。
• 作用素 $ A $ に少なくとも1つの不動点が存在することを確立し、それが確率積分方程式の解に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュャウダーの不動点定理は、確率積分方程式の解の存在を証明するために効果的に適用可能か？
• RQ2 この文脈において、シュャウダーの定理が要請する条件は、バナッハの収縮写像原理が要請する条件と比べてどのように異なるか？
• RQ3 係数 $ f $ および $ \sigma $ に対してより弱い仮定を課しても、依然として解の存在が保証されるか？
• RQ4 有界性および連続性の条件を緩和した場合でも、確率積分方程式の解集合は空でないか？
• RQ5 不動点定理としてシュャウダーの定理を用いることで、一意性が保証されない場合でも解の存在が得られるか？

主な発見

• 条件 (6) が満たされる限り、確率積分方程式 (4) は $ M $ 内に少なくとも1つの解をもつ。条件 (6) は係数および初期データの本質的上限を含むが、これは古典的手法より弱い。
• 条件 (6), $ 3E[h^2] + 3(1+b-a)(b-a)d^2 \leq r^2 $ は、シュャウダーの定理による存在性を保証するのに十分であり、バナッハの定理が要請する収縮条件 (9) よりも弱い。
• 積分方程式によって定義される作用素 $ A $ は、等連続性および $ L^2 $-空間内での相対コンパクト性を示すことにより、コンパクトであることが証明された。
• 解空間 $ M $ は閉かつ凸であるため、シュャウダーの不動点定理の位相的要件を満たしている。
• バナッハの定理とは異なり、シュャウダーの定理は $ f $ および $ \sigma $ のリプシッツ連続性を要しない。連続性と有界性のみが要求される。
• 線形方程式 $ X_t = \int_0^t uX_s ds + \int_0^t \sigma X_s dB(s) $ の例が提示され、これは幾何ブラウン運動に対応し、定理 1.5 の条件のもとで解の存在が示されている。