[論文レビュー] New extremal inclusions and their applications to two-phase composites

Liping Liu, Richard D. James+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2021

Composite Material Mechanics参考文献 46被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、一定磁化または残留ひずみ下で一様な誘導場を維持する特性を保ちながら楕円体を一般化する、新たな包含形態「E包含」を導入する。周期的および非周期的な包含を任意の接続性と体積分率で構築するための変分不等式を解くことで、2相複合材料における有効性状態および最良境界の正確な解法が可能になる。主な貢献は、E包含がEshelbyの一様性原理を楕円体を超えて、複雑な微細構造へと拡張可能である点であり、微小力学および材料設計への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper, we find a class of special inclusions that have the same property with respect to second order linear partial differential equations as holds for ellipsoids. That is, in the simplest case and in physical terms, constant magnetization of the inclusion implies constant magnetic field on the inclusion. The special inclusions are found as solutions of a simple variational inequality. This variational inequality allows us to prescribe the connectivity and periodicity properties of the inclusions. For example we find periodic arrays of inclusions in two and three dimensions for which constant magnetization of the inclusions implies constant magnetic field on the inclusions. The volume fraction of the inclusions can be any number between zero and one. We find such inclusions with any finite number of components and components that are multiply connected. These special inclusions enjoy many useful properties with respect to homogenization and energy minimization. For example, we use them to give new results on a) the effective properties of two-phase composites and b) optimal bounds and optimal microstructures for two-phase composites.

研究の動機と目的

• 一定磁化または残留ひずみ下で一様な誘導場を維持する、楕円体以外の包含形状の同定。
• 所望の周期性、接続性、体積分率を満たすE包含を構築するための変分不等式フレームワークの構築。
• E包含を用いて、2相複合材料における有効性状態および最良微細構造に関する正確な結果を導出すること。
• Eshelbyの一様性原理を、n次元空間における複雑で多重接続された周期的微細構造へと拡張すること。
• E包含が、非二次的非線形相を含む場合でも、非線形複合材料のエネルギー最小化問題に対して明示的解をもたらすかどうかの検証。

提案手法

• E包含の構築は、包含Ω上での誘導場∇vが一定であることを保証する変分不等式を解くことに基づく。
• この手法により、包含の接続性（有限個の成分、多重接続など）および周期性（2次元および3次元の周期的配列）を制御可能である。
• 包含が特定の積分条件（式2-26）を満たすような行列Q ∈ ℚの存在に依存しており、これは楕円体の場合の一般化である。
• 同次問題（1-1）と非同次Eshelby問題（1-2）の等価性を活用し、Ω上での∇vの定数性により、後者の解法が簡略化される。
• 非線形複合材料では、エネルギー最小化問題（5-6）が、Ω上での∇wの定数性に起因して代数方程式に簡略化される。
• 理論的結果は、数値例および物理的類似例（Ni3Ge析出相における観察された微細構造を含む）によって裏付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円体以外の包含形状でも、一定磁化または残留ひずみ下で一様な誘導場を維持できるか？
• RQ2 すべての次元n ≥ 2において、周期的および非周期的設定下でEshelbyの一様性特性を満たす包含の一般クラスは何か？
• RQ3 任意の体積分率、接続性、周期性を備えたE包含を体系的にどのように構築できるか？
• RQ4 E包含は、2相複合材料における有効性状態および最良境界の正確な解法をどの程度可能にするか？
• RQ5 E包含を用いることで、通常は解けない非線形複合材料のエネルギー最小化問題を解けるようになるか？

主な発見

• E包含は、楕円体の場合を一般化する変分不等式に基づいて構築され、有限個の成分や多重接続を含む包含を含む。
• 2次元および3次元の周期的配列としてのE包含は、体積分率が0から1の間で連続的に変化する範囲で存在し、一様場特性を維持する。
• 2相複合材料におけるHashin-Shtrikmanの境界が達成されるのは、微細構造が逐次的E包含である場合に限り、かつ相の剛性テンソルの差が対称行列空間を完全に張るという条件下で成立する。
• 包含相におけるエネルギー関数が厳密に凸だが非二次的である非線形複合材料では、Ω上での∇wの定数性により、エネルギー最小化問題が代数方程式に簡略化される。
• Ni-Ge合金中のNi3Ge析出相の実験的微細構造像は、周期的E包含に類似しており、このような最適形状が弾性エネルギー最小化に従う微細構造進化において自然に出現しうることを示唆している。
• E包含の一様場特性により、非線形弾性およびフェロエレクトリック材料における正確な解法が可能となり、最小化列の弱収束が一様であることを保証するため、非凸エネルギー問題の緩和が可能になる。