[論文レビュー] New Families of $p$-ary Sequences of Period $\frac{p^n-1}{2}$ With Low Maximum Correlation Magnitude

Wijik Lee, Ji-Youp Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$p \equiv 3 \pmod{4}$ である奇素数 $p$ および奇数 $n$ に対して、周期 $N = \frac{p^n - 1}{2}$ を持つ2つの新しい $p$-元系列族を構成する。これらの系列は、シフト $d = 4$ および $d = N+1$ を用いた $p$-元 m-系列のデシメート系列から得られ、Weilの補題を用いて最大相互相関絶対値が $\frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{N + \frac{1}{2}} + \frac{1}{2}$ で抑えられ、系列族サイズは $4N$ に達する。これは、半周期 $p$-元系列において相関特性の顕著な改善を示している。

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime such that $p \equiv 3\;{ m mod}\;4$ and $n$ be an odd integer. In this paper, two new families of $p$-ary sequences of period $N = \frac{p^n-1}{2}$ are constructed by two decimated $p$-ary m-sequences $m(2t)$ and $m(dt)$, where $d = 4$ and $d = (p^n + 1)/2=N+1$. The upper bound on the magnitude of correlation values of two sequences in the family is derived using Weil bound. Their upper bound is derived as $\frac{3}{\sqrt{2}} \sqrt{N+\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$ and the family size is 4N, which is four times the period of the sequence.

研究の動機と目的

• CDMA や暗号技術への応用を想定し、最大相関絶対値が小さい $p$-元系列の新規族の構成を目的とする。
• 半周期 $p$-元系列において、より大きな系列族サイズを実現する必要性に対処し、システム容量の向上を図る。
• 既存のデシメートされた m-系列に基づく構成を拡張し、ハイブリッド Weil補題を用いて相関上限を改善する。
• 有限体上の指数和および指標和を用いて、相関絶対値に対する厳密な上界を導出する。
• 提案された系列族が系列周期の4倍、すなわち $4N$ の系列族サイズに達することを示す。これは実用的利便性を顕著に向上させる。

提案手法

• 系列は、$d = 4$ および $d = N+1 = \frac{p^n + 1}{2}$ に対応する、シフトされたデシメート $p$-元 m-系列 $m(2t)$ と $m(dt)$ を組み合わせて生成する。
• 相関特性の分析には、加法的および二次乗法的指標を含むハイブリッド指数和に対する Weil 補題を用いる。
• 重要なステップとして、相互相関関数を $\mathbb{F}_q^*$ 上の和として表現し、標準的な指数和と二次指標 $\eta(x)$ を重みとする和に分解する。
• 定理4（ハイブリッド和に対する Weil 補題）を適用することで、$\left| \sum \omega^{\text{Tr}(ax)} \right| \leq \sqrt{q}$ および $\left| \sum \eta(x)\omega^{\text{Tr}(ax)} \right| \leq \sqrt{q}$ を得て、最終的な上界を導出する。
• $d = N+1$ の場合、$x = y^2$ または $x = -y^2$ の置換により形式が変換され、構造が保存され、同じ上界導出が再利用可能になる。
• 系列族サイズが $4N$ に達することを証明するため、2つの系列が循環的に同値でないことを示す。そうでなければ相互相関が $N$ に達し、導出された上界を超過するため。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期 $N = \frac{p^n - 1}{2}$ の新しい $p$-元系列族を、低相関性と大規模な系列族サイズを満たすように構成可能か？
• RQ2 このような系列の最大相関絶対値に対する、最もきつい可能な上界は何か？
• RQ3 $p \equiv 3 \pmod{4}$ を満たす $p$-元系列に対して、ハイブリッド指数和の Weil 補題を効果的に応用して相関上限を導出可能か？
• RQ4 デシメート係数 $d = 4$ および $d = N+1$ の選択が、得られる系列族の相関特性に与える影響は何か？
• RQ5 最適でない相関上限を維持しつつ、系列族サイズを $4N$ に達成可能か？

主な発見

• 提案された系列族の相関値の最大絶対値は、$\frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{N + \frac{1}{2}} + \frac{1}{2}$ で抑えられ、従来の構成よりきつい。
• 系列族サイズは $4N$ であり、系列周期の4倍に達する。これは CDMA 応用におけるシステム容量の顕著な向上を示している。
• $p = 3$, $n = 13$ の場合、正規化された最大相関 $C_{\text{max}} / \sqrt{N} \approx 2.1650$ で、相関値はたった5種類に限られる。
• $p = 7$, $n = 9$ の場合、正規化された最大相関は $2.1214$ で、相関値はたった6種類に集中しており、相関の集中度が極めて高い。
• 上記の上界は、加法的および乗法的指標のハイブリッド和に対する Weil 補題を用いて導出され、特に二次指標 $\eta(x)$ を含む。
• 本構成は、すべての奇素数 $p \equiv 3 \pmod{4}$ および奇数 $n$ に対して有効であり、符号理論および通信分野への広範な適用可能性を保証する。