[論文レビュー] New Families of Triple Error Correcting Codes with BCH Parameters

Carl Bracken|ArXiv.org|Mar 25, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、カサミ＝ウェルチ定理の一般化により、BCHパラメータを持つ新しい二値三誤り訂正符号の族を導入する。符号は $GF(2^n)$ 上の関数の対を用いて構成され、そのうち少なくとも一方がほとんど完全非線形（APN）である。また、これらの関数対の一般化されたフーリエ変換が、5つの特定の値しか取り得ないことを証明し、最小距離7を保証するとともに、三誤り訂正BCH符号と同一の重み分布を達成する。

ABSTRACT

Discovered by Bose, Chaudhuri and Hocquenghem, the BCH family of error correcting codes are one of the most studied families in coding theory. They are also among the best performing codes, particularly when the number of errors being corrected is small relative to the code length. In this article we consider binary codes with minimum distance of 7. We construct new families of codes with these BCH parameters via a generalisation of the Kasami-Welch Theorem.

研究の動機と目的

• BCHパラメータを持つ新しい二値三誤り訂正符号の族を、カサミ＝ウェルチ定理の一般化を用いて構成すること。
• 特定の関数対 $GF(2^n)$ 上で定義された関数から構成される符号が最小距離7を達成することを証明すること。
• 関数対の一般化されたフーリエ変換が、5つの指定された値に限定されることを示し、望ましい重み分布を保証すること。
• $\gcd(n,k)=1$ または奇数 $n=2t+1$ を満たす新しい関数対を導入することで、既知の三誤り訂正符号の構成を拡張すること。
• 双対符号が古典的三誤り訂正BCH符号と同一の重み分布を持つことを検証し、最適性を確認すること。

提案手法

• 符号のパリティ検査行列 $H$ を、$GF(2^n)$ から自身への3つの写像 $x$, $f(x)$, $g(x)$ を用いて構成する。$f(0)=g(0)=0$ を満たし、$3n \times (2^n - 1)$ の行列が得られる。
• 双対符号 $C^\perp$ の重み分布を分析するため、一般化されたフーリエ変換 $F^w(a,b,c) = \sum_{x \in GF(2^n)} (-1)^{\text{Tr}(ax + b f(x) + c g(x))}$ を定義する。
• MacWilliams恒等式を用いて、$C^\perp$ の重み分布から $C$ の重み分布を計算する。5つの既知の重み値が双対符号に存在するという事実に基づき、$C$ においても同一の重み分布が得られることを保証する。
• 多項式の解の個数に関する補題1（$\gcd(k,n)=1$ の場合）を適用し、以降の式における解の個数を制限する。
• 反復的置換と変数変換（例：$u = v w$, $r = w + w^{2^{-k}}$, $z = r p$, $d = q + q^{2^{-k}}$）を用いて、高次多項式方程式を解ける形に簡略化する。
• 恒等式 $\sum_{x} (-1)^{\text{Tr}(\gamma x)} = 0$（$\gamma \neq 0$ の場合）を用い、和を収縮させ、核条件を特定し、最終的に非自明な解が存在しないことを証明する。これにより、変換が5つの値しか取り得ないことが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたカサミ＝ウェルチ定理を用いて、BCHパラメータを持つ新しい三誤り訂正符号の族を構成できるか？
• RQ2 関数対 $\{x^{2^k+1}, x^{2^{tk}+1}\}$（$t=2,3$ かつ $\gcd(n,k)=1$）は、最小距離7を持つ符号を生成するか？
• RQ3 少なくとも一方の関数がAPNである場合、一般化されたフーリエ変換 $F^w(a,b,c)$ は、$0, \pm 2^{(n+1)/2}, \pm 2^{(n+3)/2}$ の5つの値に限定されるか？
• RQ4 変換値が5つの既知の値に制限される場合、MacWilliams恒等式を用いて双対符号の重み分布を一意に決定できるか？
• RQ5 変数置換による方程式系の反復的簡略化が、非自明な解が存在しない場合にのみ矛盾を生じるか？これにより、変換の有界範囲が確認されるか？

主な発見

• 本稿は、関数対 $\{x^{2^k+1}, x^{2^{2k}+1}\}$ および $\{x^{2^k+1}, x^{2^{3k}+1}\}$ に対して、一般化されたフーリエ変換 $F^w(a,b,c)$ が、$0, \pm 2^{(n+1)/2}, \pm 2^{(n+3)/2}$ の5つの値しか取り得ないことを証明し、これにより符号が最小距離7を達成することが保証される。
• 構成された符号はパラメータ $[2^n - 1, 2^n - 3n - 1, 7]$ を持ち、三誤り訂正BCH符号と同一のパラメータを持つ。
• 双対符号 $C^\perp$ は、古典的三誤り訂正BCH符号の双対と同一の重み分布を持つことが、MacWilliams恒等式および5つの既知の重み値を用いて確認された。
• 証明は反復的変数置換とトレース和の恒等式の適用に依拠し、最終的に導出された方程式が自明な解しか持たないことを示した。非自明な解が存在すると仮定すると矛盾が生じる。
• この方法により、$\gcd(n,k)=1$ かつ $n$ が奇数である場合、このような関数対から構成される符号が三誤り訂正において最適であることが確認された。
• 本稿は、既知の構成を一般化し、古典的BCH符号対 $\{x^3, x^5\}$ や、先行研究における非BCH符号を含む、新たな符号族の構築を確立した。