[論文レビュー] New family of bound entangled states residing on the boundary of Peres set

Saronath Halder, Manik Banik+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、奇数の $d \geq 5$ に対して、無限延長可能な直積基底（UPB）を用いて、$\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ 内に $(d-3)/2$ パrameter の束縛もつれ状態（PPT-BE）の族を構成する。この族は、ペレス集合（PPT状態の集合）の境界上に位置することを示している。構成手法により、各PPT-BE状態が、$(d-1)/2$ 個のランク4の極端なPPT-BE状態の凸結合として表されることを明らかにし、それらはPPT状態と非PPT状態の境界上に位置する $(d-3)/2$-単体を形成する。

ABSTRACT

Bound entangled (BE) states are strange in nature: non-zero amount of free entanglement is required to create them but no free entanglement can be distilled from them under local operations and classical communication (LOCC). Even though usefulness of such states has been shown in several information processing tasks, there exists no simple method to characterize all these states for an arbitrary composite quantum system. Here we present a $(d-3)/2$-parameter family of BE states each with positive partial transpose (PPT). This family of PPT-BE states is introduced by constructing an unextendible product basis (UPB) in $\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ with $d$ odd and $d\ge 5$. We also provide the `tile structure' corresponding to these UPBs. The range of each such PPT-BE state is contained in a $2(d-1)$ dimensional entangled subspace whereas the associated UPB-subspace is of dimension $(d-1)^2+1$. We further show that each of these PPT-BE states can be written as a convex combination of $(d-1)/2$ number of rank-4 PPT-BE states. Moreover, we prove that these rank-4 PPT-BE states are extreme points of the convex compact set $\mathcal{P}$ of all PPT states in $\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$, namely the {\it Peres} set. An interesting geometric implication of our result is that the convex hull of these rank-4 PPT-BE extreme points -- the $(d-3)/2$-simplex -- is sitting on the boundary between the set $\mathcal{P}$ and the set of non-PPT states. We also discuss consequences of our construction in the context of quantum state discrimination by LOCC.

研究の動機と目的

• 高次元系における正の部分転置（PPT）を持つ束縛もつれ状態の連続的族を構成すること。
• すべてのPPT状態の凸集合（$\mathcal{P}$）内におけるこれらのPPT-BE状態の幾何的構造を特徴づけること。
• ランク4のPPT-BE状態が $\mathcal{P}$ の極端点であることを同定することで、ペレス集合の境界構造を明確にすること。
• この構成が局所量子状態の識別およびもつれの精錬に与える影響を検討すること。

提案手法

• 奇数の $d \geq 5$ に対して、$\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ 内に無限延長可能な直積基底（UPB）を構成し、PPT-BE状態の族を生成すること。
• ヒルベルト空間内でのUPB要素の幾何的配置を可視化・分析するために「タイル構造」を定義すること。
• 各PPT-BE状態の範囲が $2(d-1)$ 次元のもつれ部分空間に含まれることを証明するが、UPB部分空間の次元は $(d-1)^2 + 1$ である。
• この族に属するすべてのPPT-BE状態が、$(d-1)/2$ 個のランク4のPPT-BE状態の凸結合として表現可能であることを示すこと。
• これらのランク4のPPT-BE状態が、$\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ 内のすべてのPPT状態の凸コンact集合 $\mathcal{P}$ の極端点であることを確立すること。
• これらの極端点の凸包が、$\mathcal{P}$ と非PPT状態の集合の境界上に位置する $(d-3)/2$-単体を形成することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 UPBを用いて、高次元系におけるPPT束縛もつれ状態の連続的族を体系的に構成できるか？
• RQ2 これらのPPT-BE状態は、すべてのPPT状態の凸集合（ペレス集合）内でどのような幾何的役割を果たすか？
• RQ3 この族に属するランク4のPPT-BE状態は、集合 $\mathcal{P}$ の極端点か？
• RQ4 これらの極端点の凸包は、ペレス集合の境界構造とどのように関係するか？
• RQ5 この構成は、LOCC下での量子状態の局所的識別にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿では、奇数の $d \geq 5$ に対して、UPB構成を用いて $\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ 内に $(d-3)/2$ パrameter のPPT-BE状態の族を構成する。
• 各PPT-BE状態の範囲は $2(d-1)$ 次元のもつれ部分空間に含まれるが、関連するUPB部分空間の次元は $(d-1)^2 + 1$ である。
• この族に属するすべての状態は、$(d-1)/2$ 個のランク4のPPT-BE状態の凸結合として表現可能である。
• これらのランク4のPPT-BE状態が、$\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ 内のすべてのPPT状態の凸コンパクト集合 $\mathcal{P}$ の極端点であることが証明されている。
• これらの極端点の凸包は、$\mathcal{P}$ と非PPT状態の集合の境界上に位置する $(d-3)/2$-単体を形成する。
• この構成により、ペレス集合の境界構造を理解するための幾何的枠組みが提供され、LOCC状態識別への応用が示唆される。