[論文レビュー] New fixed-circle results related to Fc-contractive and Fc-expanding mappings on metric spaces

Nabil Mlaiki, Nihal Yılmaz Özgür+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2021

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 27被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、距離空間上の自己写像の新クラス—$F_c$-收縮的および$F_c$-拡張的写像—を導入し、固定円（および固定円板）の存在を保証する。古典的固定点理論の一般化である。$F_c$-関数を用いた新しい収縮的条件を定義することで、特定の円または円板がこれらの写像に関して不変であることを証明し、ニューラルネットワークの活性化関数に応用可能な幾何的洞察を提供する。

ABSTRACT

The fixed-circle problem is a recent problem about the study of geometric properties of the fixed point set of a self-mapping on metric (resp. generalized metric) spaces. The fixed-disc problem occurs as a natural consequence of this problem. Our aim in this paper, is to investigate new classes of self-mappings which satisfy new specific type of contraction on a metric space. We see that the fixed point set of any member of these classes contains a circle (or a disc) called the fixed circle (resp. fixed disc) of the corresponding self-mapping. For this purpose, we introduce the notions of an $F_{c}$-contractive mapping and an $F_{c}$-expanding mapping. Activation functions with fixed circles (resp. fixed discs) are often seen in the study of neural networks. This shows the effectiveness of our fixed-circle (resp. fixed-disc) results. In this context, our theoretical results contribute to future studies on neural networks.

研究の動機と目的

• 自己写像の非一意的固定点が形成する幾何的構造—特に円および円板—を研究することで、固定点理論を拡張すること。
• 既存の収縮原理におけるギャップを埋めるために、固定点ではなく固定円または固定円板を保証する新しいクラスの写像を導入すること。
• 固定円を持つ活性化関数が安定なネットワーク行動をモデル化できることを踏まえ、ニューラルネットワークへの理論的基盤を提供すること。
• $F_c$-関数に基づく新しい関数的枠組みを用いて、先行する固定円定理を一般化すること。
• 複数の写像が共通の固定円をもつ可能性を検討し、一般化された距離空間（例：$M_s$-距離空間）への結果の拡張を試みること。

提案手法

• 特定の単調性および極限条件を満たす関数 $F_c:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ を用いて、$F_c$-収縮的写像の概念を導入する。
• $F_c$-収縮的条件を定義し、距離 $d(u, fu)$ と関数 $\varphi(u) = d(u, u_0)$ を含むものとして、収束が固定円 $C_{u_0, \rho}$ に向かうことを保証する。
• $F_c$-収縮的写像の双対として、逆不等式を用いて固定円不変性を保証する$F_c$-拡張的写像を提案する。
• $C_{u_0, \rho}$ が固定円であるための十分条件を確立する。収縮の場合は $d(fu, u_0) \geq \rho$、拡張の場合は $d(fu, u_0) \leq \rho$ を満たし、$F_c$-不等式と組み合わせる。
• 結果をニューラルネットワークの活性化関数に適用し、ReLUなどの関数が提案された枠組み下で固定円の性質を示す。
• $M_s$-距離空間への理論の拡張として、$m_s(u_0, u, u) - m_{s_{u_0,u,u}} = \rho$ を用いて円を定義し、このような空間における$F_c$-型条件の下での固定円の存在に関する未解決問題を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離空間における$F_c$-収縮的または$F_c$-拡張的写像が、全体として円 $C_{u_0, \rho}$ を固定するための条件は何か？
• RQ2 提案された$F_c$-条件を用いて、ニューラルネットワークで一般的に用いられる活性化関数の固定円を特徴づけられるか？
• RQ3 二つ以上の自己写像が共通の固定円をもつための必要十分条件は何か？
• RQ4 固定円定理を$M_s$-距離空間に一般化するにはどうすればよいか？また、$F_c$-型条件がこのような空間における固定円の存在を保証するか？
• RQ5 固定円構造は、再帰的ニューラルネットワークの安定性および収束性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 自己写像 $f$ がすべての $u \in C_{u_0, \rho}$ に対して $d(u, fu) \leq \varphi(u) - \varphi(fu)$ および $d(fu, u_0) \geq \rho$ を満たす場合、$C_{u_0, \rho}$ は $f$ の固定円であると証明され、定理1.1を一般化する。
• $F_c$-収縮的条件として、ある $\tau > 0$ に対して $F_c(d(fu, u)) \geq F_c(d(u, u_0)) + \tau$ が成り立つ場合、適切な制約下で $C_{u_0, \rho}$ が固定円であることを保証する。
• $F_c$-拡張的写像では、$F_c(d(fu, u)) \geq F_c(d(u, u_0)) + \tau$ かつ $d(fu, u_0) \leq \rho$ が成り立つと、$C_{u_0, \rho}$ が固定円であることが示される。
• ReLU活性化関数が、$L = 0$ のとき固定円 $C_{u_0, \rho} = \{0, 2u_0\}$ に対して$F_c$-収縮的条件を満たすことが示され、その固定円行動が確認される。
• 本稿では、固定円 $C_{u_0, \rho}$ の中心 $u_0$ も写像 $f$ の固定点である、すなわち $fu_0 = u_0$ であることが確立される。
• 未解決問題として、$M_s$-距離空間における$F_c$-型条件の下での固定円の存在について、$m_s(u, fu, f^2u) \leq k m_s(u_0, u, fu)$ および $t > 0$ を含む$F$-不等式を提示する。