[論文レビュー] New formulation of the compressible Navier-Stokes equations and parabolicity of the density

Boris Haspot|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 15被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、有効速度 $ v = u + \nabla\varphi(\rho) $ を用いた圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の新規定式化を提示する。この定式化により、密度 $ \rho $ と渦度 $ \text{curl}\,v $ が放物型方程式に従い、発散 $ \text{div}\,v $ が輸送方程式に従うことが明らかになる。代数的粘性係数関係 $ \lambda(\rho) = 2\rho\mu'(\rho) - 2\mu(\rho) $ の下で、臨界Besov空間 $ B^{N/p}_{p,1} $ における大規模な初期データに対し、強い解の存在を証明し、密度の顕著な正則化効果を確立する。

ABSTRACT

In this paper we give a new formulation of the compressible Navier-Stokes by introducing an suitable effective velocity $v=u+ \va(ρ)$ provided that the viscosity coefficients verify the algebraic relation of \cite{BD}. We give in particular a very simple proof of the entropy discovered in \cite{BD}, in addition our argument show why the algebraic relation of \cite{BD} appears naturally. More precisely the system reads in a very surprising way as two parabolic equation on the density $ρ$ and the vorticity ${ m curl}v$, and as a transport equation on the divergence ${ m div}v$. We show the existence of strong solution with large initial data in finite time when $(ρ_0-1)\in B^{\NN}_{p,1}$. A remarkable feature of this solution is the regularizing effects on the density. We extend this result to the case of global strong solution with small initial data.

研究の動機と目的

• 有効速度 $ v = u + \nabla\varphi(\rho) $ を用いた圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の再定式化を通じて、隠れた放物型構造を露にする。
• システムの構造から自然に生じる代数的粘性係数関係 $ \lambda(\rho) = 2\rho\mu'(\rho) - 2\mu(\rho) $ の本質を明確化する。
• 臨界Besov空間 $ B^{N/p}_{p,1} $ における大規模初期データに対する強い解の存在を、密度の正則化効果を活用して確立する。
• 初期データが小さい場合に、結果を大域的強い解へと拡張する。

提案手法

• 有効速度 $ v = u + \nabla\varphi(\rho) $ を導入し、$ \varphi'(\rho) = 2\mu'(\rho)/\rho $ を満たすように定義することで、元の系を新たな形に変換する。
• 密度 $ \rho $ および $ \text{curl}\,v $ が放物型方程式に従い、$ \text{div}\,v $ が輸送方程式に従う新しい系を導出する。
• 運動量方程式に $ \text{div} $ および $ \text{curl} $ 演算子を作用させることで、$ \text{div}\,v $、$ \text{curl}\,v $、$ \rho $ の方程式に系を分離する。
• 代数的粘性係数条件 $ \lambda(\rho) = 2\rho\mu'(\rho) - 2\mu(\rho) $ を用いて、低次の項を消去し、系を簡略化する。
• エネルギー推定およびBesov空間における放物型正則性を用いて非線形項を制御し、解の存在を確立する。
• 運動量方程式を $ v $ で乗じて得られるエントロピー恒等式を用い、[3]で知られているエントロピーが自然に回復されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有効速度 $ v = u + \nabla\varphi(\rho) $ の導入により、圧縮性ナビエ＝ストークス方程式にどのような放物型構造が明らかになるか？
• RQ2 なぜこの定式化において代数的粘性係数関係 $ \lambda(\rho) = 2\rho\mu'(\rho) - 2\mu(\rho) $ が自然に生じるのか？
• RQ3 初期データ $ \rho_0 - 1 \in B^{N/p}_{p,1} $ の場合、強い解の正則性および存在性はどのように振る舞うか？
• RQ4 密度 $ \rho $ および $ \text{curl}\,v $ の放物型性を活用することで、元の定式化よりも強い正則化効果を示せるか？
• RQ5 この新定式化において、初期データが小さい場合の大域的解存在領域はどのようなものか？

主な発見

• 有効速度 $ v = u + \nabla\varphi(\rho) $ の下で、系は $ \rho $ および $ \text{curl}\,v $ に対して2つの放物型方程式、$ \text{div}\,v $ に対して輸送方程式に再定式化される。
• 代数的粘性係数関係 $ \lambda(\rho) = 2\rho\mu'(\rho) - 2\mu(\rho) $ は、低次の項を消去し、放物型構造を達成するために必要かつ自然であることが示された。
• 初期データが $ \rho_0 - 1 \in B^{N/p}_{p,1} $ で小さい場合、大域的強い解が存在することが証明され、局所的解の結果が拡張された。
• 初期データが $ \rho_0 - 1 \in B^{N/p}_{p,1} $ で大きい場合、有限時間内に強い解が存在することが証明された。
• 密度 $ \rho $ はその放物型進化のおかげで顕著な正則化効果を示し、新定式化の主要な構造的利点である。
• 運動量方程式を $ v $ で乗じて得られるエントロピー恒等式により、[3]で知られているエントロピーが自然に回復され、定式化の整合性および物理的妥当性が確認された。