[論文レビュー] New formulations and branch-and-cut procedures for the longest induced path problem

Ruslán G. Marzo, Rafael A. Melo+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2021

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ひとこと要約

本稿では、長さ最大の誘導パス問題（LIPP）に対する、指数関数的に多くの制約を含む2つの新しい整数プログラミング定式化を提案する。1つは明示的なサイクル除去（cec）に基づくもので、もう1つはカットセット制約（cut）を用いるものである。cecは理論的には弱いが、計算実験の結果、先行研究のすべての定式化を上回り、時間制限内に1,065個のベンチマークインスタンスのうち1,064個を最適解で解けることを示した。また、中央値の解法時間も顕著に短縮された。さらに、ウォームスタートの導入により、難易度の高いインスタンスにおける性能がさらに向上した。

ABSTRACT

Given an undirected graph $G=(V,E)$, the longest induced path problem (LIPP) consists of obtaining a maximum cardinality subset $W\subseteq V$ such that $W$ induces a simple path in $G$. In this paper, we propose two new formulations with an exponential number of constraints for the problem, together with effective branch-and-cut procedures for its solution. While the first formulation (cec) is based on constraints that explicitly eliminate cycles, the second one (cut) ensures connectivity via cutset constraints. We compare, both theoretically and experimentally, the newly proposed approaches with a state-of-the-art formulation recently proposed in the literature. More specifically, we show that the polyhedra defined by formulation cut and that of the formulation available in the literature are the same. Besides, we show that these two formulations are stronger in theory than cec. We also propose a new branch-and-cut procedure using the new formulations. Computational experiments show that the newly proposed formulation cec, although less strong from a theoretical point of view, is the best performing approach as it can solve all but one of the 1065 benchmark instances used in the literature within the given time limit. In addition, our newly proposed approaches outperform the state-of-the-art formulation when it comes to the median times to solve the instances to optimality. Furthermore, we perform extended computational experiments considering more challenging and hard-to-solve larger instances and evaluate the impacts on the results when offering initial feasible solutions (warm starts) to the formulations.

研究の動機と目的

• 一般グラフにおけるNP困難な長さ最大の誘導パス問題（LIPP）のより強力で効率的な定式化の開発を目的とする。
• 新規制約とカットプランのヒューリスティクスを活用した効果的なブランチアンドカット手順の設計を目的とする。
• ウォームスタート（初期の実行可能解）が、挑戦的で大規模なLIPPインスタンスの解法に与える影響の評価を目的とする。
• 新規定式化の理論的強度と計算的性能を、既存の最先端の定式化と比較することを目的とする。
• 23個の大規模インスタンスからなる、より困難な新しいベンチマークセットへの実験的評価の拡張を目的とする。

提案手法

• 2つの新しい整数プログラミング定式化、すなわちcec（サイクル除去制約）とcut（カットセットに基づく接続性制約）を提案する。両者とも、パスの端点を結ぶためにダミー頂点sを用いる。
• cec定式化では、頂点の部分集合に対してサイクルを明示的に禁止する制約を設ける。
• cut定式化では、すべての適切な頂点部分集合に対して、その補集合へと伸びる少なくとも1本の辺が存在することを保証することで、接続性を確保する。
• 最大クリークすべてに対して事前に、またはヒューリスティックな分離手順を用いて、動的にクリーク不等式を分離するブランチアンドカットフレームワークを実装する。
• 収束の向上と最適差のばらつきの低減を図るため、初期実行可能解を提供するウォームスタート戦略を用いる。
• 標準ベンチマーク1,065個と23個の新しい難易度の高いインスタンスを用いた広範な計算実験を行い、Böcklerら（2020）の最先端定式化と比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cecとcutの新規定式化の理論的多面体的性質は、Böcklerら（2020a）の最先端定式化と比べてどうか？
• RQ2 理論的には弱いcec定式化が、根の緩和がタイトであるか、またはより良い分岐行動を示すことで、実際の計算で優れているのか？
• RQ3 ウォームスタートは、難易度の高いインスタンスにおけるブランチアンドカットアルゴリズムの性能とロバスト性をどの程度向上させるか？
• RQ4 新規定式化は、従来の手法では解けないような大規模でより困難なインスタンスにおいて、どのようにスケーリングするか？
• RQ5 クリーク不等式の分離戦略は、全体の解法品質と時間にどのような影響を与えるか？

主な発見

• cut定式化が定義する多面体と、Böcklerら（2020a）の最先端定式化が定義する多面体は、数学的に同一である。
• cec定式化が定義する多面体はcutより厳密に弱いため、cutは理論的により強い。
• cec定式化は、時間制限内に1,065個のベンチマークインスタンスのうち1,064個を最適解で解き、他のすべての定式化を上回った。
• cecの中央値解法時間は、最先端定式化よりも顕著に低く、優れた実用的性能を示した。
• ウォームスタートは最適差のばらつきを低減し、特にcut定式化においてより安定した性能をもたらしたことが、相対差の四分位範囲図から明らかになった。
• 23個の新しい難易度の高いインスタンスに対しては、cecにウォームスタートを適用した結果、目的値、上限値、差の観点で最も優れた結果が得られ、23個中15個のインスタンスで最適差が改善された。