[論文レビュー] New foundations of reasoning via real-valued first-order logics

Guillermo Badía, Ronald Fagin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2022

Advanced Algebra and Logic被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、実数値の多次元文（MD文）を用いた、1階およびモーダル論理のための新しい枠組みを導入する。これは、部分的真偽値と複雑な真偽値の組み合わせを扱えるように、従来の命題論理の枠組みを拡張したものである。固定領域および可変領域の両方に対して、健全かつ完全な公理的体系を提供し、有限値化されたバージョンでは0-1法則を含む。一般に帰納的でないが、有限領域に制限すると、体系は依然として完全で、有限的であることが示された。

ABSTRACT

Many-valued logics in general, and fuzzy logics in particular, usually focus on a notion of consequence based on preservation of full truth, typical represented by the value 1 in the semantics given the real unit interval [0,1]. In a recent paper (\emph{Foundations of Reasoning with Uncertainty via Real-valued Logics}, arXiv:2008.02429v2, 2021), Ronald Fagin, Ryan Riegel, and Alexander Gray have introduced a new paradigm that allows to deal with inferences in propositional real-valued logics based on multi-dimensional sentences that allow to prescribe any truth-values, not just 1, for the premises and conclusion of a given entailment. In this paper, we extend their work to the first-order (as well as modal) logic of multi-dimensional sentences. We give axiomatic systems and prove corresponding completeness theorems, first assuming that the structures are defined over a fixed domain, and later for the logics of varying domains. As a by-product, we also obtain a 0-1 law for finitely-valued versions of these logics.

研究の動機と目的

• 実数値論理における多次元文の命題的枠組みを、1階およびモーダル論理の文脈へ拡張すること。
• 標準的な多値論理が完全な真（値1）にのみ注目し、部分的真偽値の組み合わせを無視するという限界を是正すること。
• 1階実数値論理における妥当な推論を、一様かつパラメータ化された公理化で捉えること。これは帰納的には再帰的でないものも含む。
• 固定領域および可変領域の両方に対して完全性定理を証明し、有限値化されたバージョンに対して0-1法則を確立すること。
• 一般には決定不能であるが、有限領域に制限すると体系が有限的かつ完全であることを示すこと。

提案手法

• 多次元文（MD文）の文法を1階およびモーダル論理へ拡張し、各MD文が形式 ⟨σ₁,…,σₖ; S⟩ を持ち、S ⊆ [0,1]ᵏ が許容される真偽値の組み合わせを表すように定義する。
• 意味論を定義し、MD文がモデル内で真であるとは、その構成論理式の真偽値のタプルが集合Sに属するときであると定める。
• MD文間の論理的帰結を捉えるための有限的公理体系を構築し、真偽値集合を扱う一般化されたルール (7)* を含む。
• 命題の場合と類似した戦略を用いて、固定領域における完全性を証明する。最大一貫集合とモデル構成の手法に依存する。
• 領域サイズの制約を除去することで、可変領域への適応を図り、すべての領域における完全性を証明する。
• Oberschelpの結果と古典的1階論理からの還元を用いて、ルール (7)* におけるS′ = ∅ の満たされやすさが決定不能であることを示し、非再帰的性質を説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1階実数値論理に対して、部分的真偽値（完全な真（1）以外）を含む推論を捉える、一様かつパラメータ化された公理化を構築できるか？
• RQ2 多次元文を1階およびモーダル論理へ拡張する方法は何か？ その際、健全性と完全性を保つことができるか？
• RQ3 有限領域におけるこれらの体系の論理的挙動はどのようなものか？ 決定不能性にもかかわらず完全性は維持可能か？
• RQ4 これらの1階多次元論理の有限値化バージョンに対して、0-1法則が成り立つか？
• RQ5 可変領域を扱えるように体系を適応させつつ、完全性と有限的推論を維持できるか？

主な発見

• 固定領域における1階実数値論理に対して、健全かつ完全な公理的体系が、多次元文を用いて確立された。これは命題論理の完全性結果を一般化するものである。
• ルール (7)* における真偽値集合S′が空集合かどうかの判定が、古典的1階論理における有限の妥当性問題に還元可能であるため、体系は帰納的でない（非再帰的）であることが示された。
• 有限値化されたバージョンの論理に対して、0-1法則が証明された。これは、漸近的にほとんどすべての文がほとんど確実に真またはほとんど確実に偽であることを示している。
• 任意の領域（可変領域意味論）においても、論理の完全性が確立された。固定サイズのモデルに限らない枠組みへの拡張が達成された。
• 有限領域に制限すると、体系は有限的かつ完全となる。一般には非再帰的であるが、Γ ⊢ θ が成り立つための必要十分条件は Γ ⊨ finite θ である。
• この枠組みは、有理的 Pavelka論理や他の真偽定数を備えたファジィ論理を包含・一般化し、[0,1]ᵏ の任意の部分集合Sを情報集合として許容することで、より高い表現力を持つ。