[論文レビュー] New Fractional Derivatives with Nonlocal and Non-Singular Kernel: Theory and Application to Heat Transfer Model

Abdon Atangana, Dumitru Bǎleanu|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2016

Fractional Differential Equations Solutions被引用数 51

ひとこと要約

本稿では、非局所的かつ非特異的核を持つ新しい分数階微分を導入し、複雑な物理系をモデル化するための改善された数学的性質を提供する。熱伝導モデルに適用したところ、特異性のない正確な解が得られ、記憶依存的熱力学的ダイナミクスを捉える有効性が示された。解析的取り扱いの容易さも向上している。

ABSTRACT

In this manuscript we proposed a new fractional derivative with non-local and no-singular kernel. We presented some useful properties of the new derivative and applied it to solve the fractional heat transfer model.

研究の動機と目的

• 既存の分数階微分の限界を克服するため、非局所的かつ非特異的核を持つ新しい分数階微分の開発を目的とする。
• 記憶効果を保持しつつ、核関数における特異性を回避する数学的に整合性のあるフレームワークを提供することを目的とする。
• 新規微分を時間分数階熱伝導方程式に適用し、その解析的・物理的整合性を検証することを目的とする。
• 新規微分が記憶効果を示す実世界の熱的プロセスをモデル化する上で実用的であることを示すこと。
• 工学的・物理的応用分野において、カプートおよびリーマン＝リウヴィル微分といった古典的分数階微分の代替手段を提供すること。

提案手法

• 指数関数に基づく非特異的かつ非局所的核を有する積分作用素に基づく新しい分数階微分の提案。
• 線形性、半群性質、逆演算の存在といった基本的性質の確立。
• 初期値および境界値条件を伴う時間分数階熱伝導方程式への微分の適用。
• ラプラス変換を含む解析的手法を用いて、得られた分数階偏微分方程式の解法。
• 数学的解析および古典的モデルとの比較を通じて、解の収束性と物理的整合性の検証。
• 核に特異性がないにもかかわらず、熱的記憶効果を的確に捉えるモデルの能力の提示。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異性のない核を持つ分数階微分を構築することは可能か？ その際、依然として非局所的記憶効果を保持できるか？
• RQ2 数学的性質および物理的解釈可能性の観点から、既存の分数階微分と比較して、新規微分はどのように異なるか？
• RQ3 新規微分は、記憶依存的挙動を示す熱伝導プロセスを効果的にモデル化できるか？
• RQ4 分数階偏微分方程式を解く際に、この微分が示す解析的・数値的利点は何か？
• RQ5 非特異的核は、分数階熱伝導モデルの安定性および可解性を向上させるか？

主な発見

• 新規分数階微分は、古典的カプートおよびリーマン＝リウヴィル微分に見られる数学的特異性を回避する非特異的かつ非局所的核を有する。
• 線形性や半群性といった基本的性質を満たしており、数学的モデリングにおける整合性が保証される。
• 新規微分を用いた分数階熱伝導モデルの解は、関心領域全域で収束し、物理的に意味のあるままである。
• モデルは熱拡散における記憶効果を的確に捉えており、熱伝播における長期的依存性を反映している。
• 解析的解は、特異的核を用いたモデルと比較して、より優れた取り扱いやすさと安定性を示している。
• 物理学および工学分野における複雑な系のモデル化に、数学的挙動が向上した代替手段を提供する。