[論文レビュー] New Generalized Fixed Point Results on $S_{b}$-Metric Spaces

Ni̇hal Taş, Nihal Yılmaz Özgür|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2017

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$S_b$-距離空間におけるバナッハの縮小原理を一般化し、二つのパラメータ $\alpha_1$ と $\alpha_2$ を含む縮小条件を満たす完全 $S_b$-距離空間における新しい不動点定理を導入する。主な貢献は、古典的定理を拡張する一般化された不動点結果であり、$\max\sum|a_{ij}| < h < 1$ を満たす和のノルム条件下で線形方程式系の解の存在と一意性を示す応用を含む。この一般化が元のバナッハ原理を厳密に拡張することを示す反例が提示されている。

ABSTRACT

Recently $S_{b}$-metric spaces have been introduced as the generalizations of metric and $S$-metric spaces. In this paper we investigate some basic properties of this new space. We generalize the classical Banach's contraction principle using the theory of a complete $S_{b}$-metric space. Also we give an application to linear equation systems using the $S_{b}$-metric which is generated by a metric.

研究の動機と目的

• $S_b$-距離空間（距離空間および $S$-距離空間の両方を拡張する）の文脈において、バナッハの縮小原理を一般化すること。
• 二つのパラメータ $\alpha_1$ と $\alpha_2$ を含む一般化された縮小条件の下で、完全 $S_b$-距離空間上の自己写像に対して新しい不動点定理を確立すること。
• $\mathbb{R}^n$ 上の $\ell^1$-ノルムから導かれる $S_b$-距離を構成することにより、線形方程式系への不動点結果の適用可能性を示すこと。
• 新しい定理が古典的バナッハ縮小原理を厳密に拡張することを、反例を用いて示すこと。

提案手法

• $S_b: X \times X \times X \to [0,\infty)$ を関数として定義し、$S_b(x,y,z) = 0$ がかつて $x = y = z$ であることと、$b \geq 1$ に対してすべての $x,y,z,a \in X$ に対して $S_b(x,y,z) \leq b[S_b(x,x,a) + S_b(y,y,a) + S_b(z,z,a)]$ を満たす $b$-型三角不等式を満たす $S_b$-距離空間を定義する。
• 一般化された縮小条件を導入する：$S_b(Tx,Tx,Ty) \leq \alpha_1 S_b(x,x,y) + \alpha_2 \max\{ S_b(Tx,Tx,x), S_b(Tx,Tx,y), S_b(Ty,Ty,y), S_b(Ty,Ty,x) \}$ で、$\alpha_1 + b\alpha_2 < 1$ を満たす。
• コーシー列の議論と完備性を用いて、一般化された縮小条件を満たす自己写像 $T$ に対して、完全 $S_b$-距離空間上に不動点が存在し、かつ一意であることを証明する。
• $\mathbb{R}^n$ 上に $S_1(x,y,z) = \sum_{i=1}^n |x_i - z_i| + \sum_{i=1}^n |y_i - z_i|$ として、$\ell^1$-ノルムから導かれる $S_b$-距離を構成する。
• 線形系 $Ax + b = x$ に不動点定理を適用する。$\max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^n |a_{ij}| < h < 1$ のとき、写像 $T(x) = Ax + b$ が一般化された縮小条件を満たし、一意解が保証されることを示す。
• 新しい条件は満たすが古典的バナッハ条件は満たさない反例を提示し、一般化が厳密であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S_b$-距離空間（$S$-距離空間および距離空間よりも広いクラス）において、バナッハの縮小原理を一般化することは可能か？
• RQ2 $S_b$-距離空間における不動点の存在と一意性を保証する、一般化された縮小条件の正確な形は何か？
• RQ3 新しい不動点定理は、古典的バナッハ縮小原理を厳密に拡張するのか？その証明として反例をどのように提示できるか？
• RQ4 一般化された不動点定理は、$\mathbb{R}^n$ 上の線形方程式系の解の存在と一意性を示すために適用可能か？
• RQ5 $S_b$-距離構造と $\ell^1$-ノルムの間の関係は何か？この関係は線形系への応用を可能にするか？

主な発見

• 本稿では、$\alpha_1 + b\alpha_2 < 1$ を満たす二つのパラメータ $\alpha_1$ と $\alpha_2$ を含む一般化された縮小条件の下で、完全 $S_b$-距離空間に対して新しい不動点定理を確立し、不動点の存在と一意性を保証する。
• 新しい定理は古典的バナッハ縮小原理を一般化する：$\alpha_2 = 0$ かつ $\alpha_1 < 1/b^2$ のとき、条件はバナッハ縮小に帰着するが、新しい条件はより弱い。
• 反例が提示され、一般化された条件は満たす（$\alpha_1 = 0$, $\alpha_2 = 1/5$）が、古典的バナッハ条件は満たさない場合があることが示され、一般化が厳密であることが証明された。
• 不動点定理は $\mathbb{R}^n$ 上の線形系 $Ax + b = x$ に適用され、$\max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^n |a_{ij}| < h < 1$ のとき、一意解が存在することが示された。
• $S_b$-距離 $S_1(x,y,z) = \sum_{i=1}^n |x_i - z_i| + \sum_{i=1}^n |y_i - z_i|$ は $\ell^1$-ノルムから構成され、写像 $T(x) = Ax + b$ は与えられた行列ノルム条件の下で一般化された縮小条件を満たす。
• 証明により、$S_1(Tx,Tx,Ty) \leq h \cdot S_1(x,x,y)$ が $h < 1$ のとき成り立つことが示され、これにより縮小性が確認され、結果として一意な不動点（つまり線形系の唯一の解）の存在が保証される。