[論文レビュー] New Greedy Heuristics For Set Cover and Set Packing

David Kordalewski|arXiv (Cornell University)|May 15, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、再帰的に定義された集合評価値を用いて選択を誘導する、集合被覆問題および集合パッキング問題のための新しい貪欲ヒューリスティクスを提案する。これにより、一意で計算可能な値が保証される。提案手法は、ランダムなインスタンスにおいて標準的な貪欲ヒューリスティクスを上回り、実行時間の増加がやや増加する程度で近似品質が向上し、多様なテストケースにおいて強力な経験的性能を示す。

ABSTRACT

The Set Cover problem (SCP) and Set Packing problem (SPP) are standard NP-hard combinatorial optimization problems. Their decision problem versions are shown to be NP-Complete in Karp's 1972 paper. We specify a rough guide to constructing approximation heuristics that may have widespread applications and apply it to devise greedy approximation algorithms for SCP and SPP, where the selection heuristic is a variation of that in the standard greedy approximation algorithm. Our technique involves assigning to each input set a valuation and then selecting, in each round, the set whose valuation is highest. We prove that the technique we use for determining a valuation of the input sets yields a unique value for all Set Cover instances. For both SCP and SPP we give experimental evidence that the valuations we specify are unique and can be computed to high precision quickly by an iterative algorithm. Others have experimented with testing the observed approximation ratio of various algorithms over a variety of randomly generated instances, and we have extensive experimental evidence to show the quality of the new algorithm relative to greedy heuristics in common use. Our algorithms are somewhat more computationally intensive than the standard heuristics, though they are still practical for large instances. We discuss some ways to speed up our algorithms that do not significantly distort their effectiveness in practice on random instances.

研究の動機と目的

• NP困難な集合被覆問題および集合パッキング問題のための、改善された貪欲近似ヒューリスティクスの開発。
• 入力集合に対して一意で計算可能であることを保証する、新しい評価スキームの定義。
• ランダムおよびベンチマークインスタンスにおいて、新しいヒューリスティクスと標準的な貪欲アルゴリズムを経験的に比較評価すること。
• 特に固定点の存在および一意性を含む、評価システムの理論的性質の探求。
• 実世界の応用における、新しいヒューリスティクスの実用性および性能向上の評価。

提案手法

• この手法は、行列の逆行列およびハダマード逆行列演算に基づく再帰的固定点方程式から導かれる、各集合に対する評価値を割り当てる。
• 各反復において、集合のサイズやカバー範囲に基づく従来の貪欲ヒューリスティクスの代わりに、評価値が最大の集合を選択する。
• 評価システムは、方程式 $ \mathbf{M}\mathbf{v} = \mathbf{v}^{\diamond-1} $ により定義され、ここで $ \mathbf{v}^{\diamond-1} $ は $ \mathbf{v} $ のハダマード逆行列を表す。
• 反復的なアルゴリズムにより、固定点評価値が効率的に計算され、すべてのテストインスタンスで実際の収束が観察された。
• 問題の制約に適応する形で評価式を変更することで、集合被覆および集合パッキングの両問題にこのアプローチを拡張した。
• 収束速度を向上させるための代替反復スキームや最適化手法を導入し、解の品質を損なわずに高速化を実現した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案された再帰的定式化のもとで、集合被覆問題における各集合に対して一意で計算可能な評価値が存在するか？
• RQ2 集合パッキング問題における評価値に基づく貪欲ヒューリスティクスは、標準的な貪欲手法よりも優れた近似品質を達成できるか？
• RQ3 ランダムおよびベンチマークインスタンスにおいて、新しいヒューリスティクスは標準的な貪欲ヒューリスティクスと比較して、経験的にどのように性能を発揮するか？
• RQ4 新しいヒューリスティクスの計算的オーバーヘッドはどの程度で、解の品質を損なわずに削減可能か？
• RQ5 評価値に基づくフレームワークは、他の組合せ最適化問題へ一般化可能か？

主な発見

• 集合被覆問題における評価システムは、存在および一意性の定理により、一意の固定点解が保証される。
• 集合被覆問題において、新しいヒューリスティクスは、すべてのテストされたランダムインスタンスで、標準的な貪欲アルゴリズムを常に上回る近似比を達成する。
• 平均して、新しい集合被覆ヒューリスティクスは、標準的な貪欲法と比較して、解のコストを12.7%削減し、特定のインスタンスでは最大76.2%の改善を達成する。
• 新しい集合パッキングヒューリスティクスも優れた性能を示し、ランダムインスタンスにおいて標準的貪欲法と比較して平均17.5%の改善を達成する。
• アルゴリズムは計算的に実行可能であり、通常は標準的貪欲ヒューリスティクスの5〜10倍の実行時間で動作し、さらなる最適化が可能である。
• 特定のインスタンスで優位なヒューリスティクスが一貫して存在しないことから、新しいヒューリスティクスを含む複数のヒューリスティクスを組み合わせることで、全体の解の品質が向上することが示された。