[論文レビュー] New Hamiltonian formalism and Lagrangian representations for integrable hydrodynamic type systems

M. V. Pavlov|ArXiv.org|Aug 14, 2006

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 42被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、共役曲線座標網と反平坦性条件に基づき、可積分流体型系のための新しいハミルトニアン形式を提案し、Dubrovin-NovikovおよびFerapontov形式と類似した「ミラー構造」を確立する。反平坦性の下で局所的ラグランジュ表現を導出し、すべての奇数位の無限階層の局所的ハミルトニアン構造の存在を証明する。これはNutku–OlverおよびSheftel–Teshukov系を一般化するものである。

ABSTRACT

New Hamiltonian formalism based on the theory of conjugate curvilinear coordinate nets is established. All formulas are ``mirrored'' to corresponding formulas in the Hamiltonian formalism constructed by B.A. Dubrovin and S.P. Novikov (in a flat case) and E.V. Ferapontov (in a non-flat case). In the ``mirrored-flat'' case the Lagrangian formulation is found. Multi-Hamiltonian examples are presented. In particular Egorov's case, generalizations of local Nutku--Olver's Hamiltonian structure and corresponding Sheftel--Teshukov's recursion operator are presented. An number of Hamiltonian structures of all odd orders is found.

研究の動機と目的

• 共役曲線座標網の理論を用いて、可積分流体型系のための新しいハミルトニアン形式を構築すること。
• 特に反平坦性の場合に、Dubrovin–NovikovおよびFerapontov形式と類似した「ミラー構造」を確立すること。
• 「ミラーフラット」条件を満たす系の局所的ラグランジュ表現を導出すること。
• Nutku–OlverおよびSheftel–Teshukov系などの既知の例を一般化する、すべての奇数位の局所的ハミルトニアン構造の無限階層を構築すること。
• 反平坦性条件を用いて、任意の余次元における非局所的ハミルトニアン構造を拡張すること。

提案手法

• 形式主義は、Dubrovin–Novikov理論における平坦性条件を一般化する反平坦性条件に基づく。
• 主要な式は反平坦性条件（28）であり、平坦系に対する双対構造を定義する。
• 共役ネットに適合した、Dubrovin–NovikovおよびFerapontov形式と類似したが変換された「ミラー」ハミルトニアン形式が構築される。
• リーマン不変量と条件（23）を用いて、理想気体力学にインspiredされた局所的ラグランジュ表現が導出される。
• 再帰作用素（38）を用いて高階のハミルトニアン構造が再帰的に生成され、すべての奇数位の構造が得られる。
• 微分幾何的ポアソン括弧（38）を活用し、高階微分に準有理的依存性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共役曲線座標網と反平坦性を用いて、可積分流体型系のための新しいハミルトニアン形式を構築可能か？
• RQ2 「ミラーフラット」の場合に局所的ラグランジュ形式化が可能であるか。その場合、リーマン不変量とどのように関係するか？
• RQ3 1つのバイハミルトニアン対から、すべての奇数位の局所的ハミルトニアン構造の無限階層を体系的に導出可能か？
• RQ4 一般化されたNutku–OlverおよびSheftel–Teshukov構造は、この新しい形式主義にどのように統合されるか？
• RQ5 反平坦性に基づく非局所的ハミルトニアン構造を、任意の余次元に拡張可能か？

主な発見

• すべての奇数位の無限個の局所的ハミルトニアン構造が構築され、Nutku–OlverおよびSheftel–Teshukov系を一般化する。
• Egorov平坦流体型系が、奇数次高次の無限個の局所的ハミルトニアン構造を持つことが示された。
• 「ミラーフラット」の場合に明示的な局所的ラグランジュ表現が得られ、系がリーマン不変量および理想気体力学と関連している。
• 混合バイハミルトニアン構造（38）は、1階微分に有理的依存性を示す無限列の可換な流れを生成する。
• 反平坦性に基づく非局所的ハミルトニアン形式は、任意の余次元に拡張され、以前の結果を一般化する。
• 新しい形式主義は、局所的状況においてDubrovin–Novikov型と同等である多ハミルトニアン構造の統一的枠組みを提供する。