[論文レビュー] New heuristics for burning graphs

Zahra Rezai Farokh, Maryam Tahmasbi+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、最近定義されたNP困難問題であるグラフバーニング問題のための6つの新しいヒューリスティクスを導入する。これらのヒューリスティクスは、アクティベーター選択戦略の違いを示し、DIMACS、BHOSLIB、スフィアグラフ、および距離クラスタが既知のランダムグラフ上で評価されており、98%以上のケースで最適または近似的最適な結果を達成し、距離クラスタに関するバーニング数の上界を ⌈√d⌉ + 2 に改善した。

ABSTRACT

The concept of graph burning and burning number ($bn(G)$) of a graph G was introduced recently [1]. Graph burning models the spread of contagion (fire) in a graph in discrete time steps. $bn(G)$ is the minimum time needed to burn a graph $G$.The problem is NP-complete. In this paper, we develop first heuristics to solve the problem in general (connected) graphs. In order to test the performance of our algorithms, we applied them on some graph classes with known burning number such as theta graphs, we tested our algorithms on DIMACS and BHOSLIB that are known benchmarks for NP-hard problems in graph theory. We also improved the upper bound for burning number on general graphs in terms of their distance to cluster. Then we generated a data set of 2000 random graphs with known distance to cluster and tested our heuristics on them.

研究の動機と目的

• 任意の連結グラフに対してグラフバーニング問題を解くための最初の汎用的ヒューリスティクスを開発すること。
• 標準的なNP困難なベンチマークデータセット（DIMACS および BHOSLIB）およびバーニング数が既知のグラフ上でヒューリスティクスの性能を評価すること。
• 距離クラスタに関するバーニング数の理論的上界を改善すること。
• 距離クラスタが制御された2000個のランダムグラフの新しいデータセットを生成し、ヒューリスティクスを評価すること。

提案手法

• 最初のアクティベーターの選択およびその後のアクティベーターの順序を距離指標（例：最遠距離、中心性）に基づいて変化させる6つの異なるヒューリスティクスを提案する。
• 距離クラスタが既知のグラフをモデル化するため、中心パスと接続された完全グラフから成るパスベースのグラフ構造を用いる。
• DIMACS および BHOSLIB データセットにヒューリスティクスを適用し、標準的なNP困難問題ベンチマークにおける性能を評価する。
• 距離クラスタ（d）が制御された2000個のランダムグラフを生成し、理論的上界 ⌈√d⌉ + 2 に対してヒューリスティクスの性能を評価する。
• 新しい上界を証明する：G が頂点集合 A を持ち、G[V∖A] がクラスタグラフである場合、bn(G) ≤ bn(G[A]) + 2 が成り立つ。
• ヒューリスティクスの結果を正確な値および先行研究からの理論的上界と比較し、性能の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフバーニング問題はNP完全であり、かつこれまでにアルゴリズム的解決策が存在しないため、一般の連結グラフに対して効果的なヒューリスティクスを開発できるか？
• RQ2 提案されたヒューリスティクスは、DIMACS や BHOSLIB のような標準的なNP困難グラフベンチマークでどのように性能を発揮するか？
• RQ3 距離クラスタに関するバーニング数の上界を改善できるか？また、ヒューリスティクスはこの上界に対してどのように性能を発揮するか？
• RQ4 距離クラスタが制御されたランダムグラフにおいて、ヒューリスティクスは既知の理論的上界にどの程度達するか、またはそれを下回るか？

主な発見

• DIMACS データセットの78個のグラフのうち71個、BHOSLIB データセットの36個のすべてのグラフで、ヒューリスティクスは最適バーニング数を達成した。
• 生成された2000個のランダムなスフィアグラフのうち1208個で、ヒューリスティクスは既知の上界以下のバーニングシーケンス長を計算した。
• 距離クラスタが d であるグラフに対して、改善された理論的上界は ⌈√d⌉ + 2 であり、以前の上界 3d + 3 よりもタイトである。
• 距離クラスタが既知の2000個のランダムグラフのうち1961個で、ヒューリスティクスは新しい理論的上界 ⌈√d⌉ + 2 以下のバーニング数を達成した。
• Ctr-Half dist、Rnd-Half dist、Rnd-Far dist ヒューリスティクスは、他のものよりも一貫して優れた性能を示し、1708件のケースで最小解を発見した。
• 結果から、最遠距離およびランダム選択に基づくアクティベーター戦略を採用するヒューリスティクスが、多様なグラフクラスにおいて優れた性能を発揮することが示された。