[論文レビュー] New Inequalities for Hermite-Hadamard and Simpson Type and Applications

M. Emіn Özdemіr, Çetin Yıldız|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2011

Mathematical Inequalities and Applications被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、二階導関数がP-凸である関数に対して、積分恒等式とp-平均不等式を用いて、Hermite-Hadamard型およびSimpson型の新しい不等式を確立している。主な貢献は、四則則の誤差項をより厳密に評価し、実数の特殊平均への応用を含む、|f''|におけるP-凸性仮定のもとで既存の結果を改善することにある。

ABSTRACT

In this paper, we obtain new bounds for the inequalities of Simpson and Hermite-Hadamard type for functions whose second derivatives absolute values are P-convex. These bounds can be much better than some obtained bounds. Some applications for special means of real numbers are also given.

研究の動機と目的

• |f''| がP-凸である場合のHermite-Hadamard型およびSimpson型不等式に対するより厳密な誤差項の境界を導出すること。
• f'' とカーネル関数を含むパラメータ化された積分恒等式を用いて、既存の積分不等式を一般化すること。
• 新しい境界を、算術平均、対数平均、一般化対数平均など、実数の特殊平均に応用すること。
• 新しい境界を古典的結果と比較し、それらがより鋭い場合があることを示すこと。

提案手法

• 差分が関数値と積分平均の間の関係をカーネル関数 k(t) を介して二階微分で表すパラメータ化された積分恒等式（補題1）を用いる。
• |f''| のP-凸性を用いて、[0, 1/2] および [1/2, 1] 上の積分を |f''(a)| と |f''(b)| を用いて上から抑える。
• 共役指数 p と q を用いた Hölder の不等式を適用し、誤差項の L^q 型の境界を導出する。
• λ ∈ [0,1] に応じた明示的境界を導出し、λ ≤ 1/2 および λ ≥ 1/2 の場合を別々に取り扱う。
• f(x) = x^n に結果を適用し、算術平均、対数平均、一般化対数平均関数を含む不等式を導出する。
• 新しい境界を古典的不等式（例：(1.3), (1.4)）と比較し、それらがより鋭くなる条件を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 |f''| が有界であるのではなくP-凸である場合に、Hermite-Hadamard型およびSimpson型不等式に対してより鋭い境界を確立できるか？
• RQ2 積分恒等式におけるパラメータ λ が、異なる種類の四則則の誤差推定にどのように影響するか？
• RQ3 新しい境界が、(1.3) や (1.4) のような古典的不等式を改善する条件は何か？
• RQ4 新しい不等式は、実数の特殊平均の境界を導出するために効果的に応用できるか？
• RQ5 P-凸性のもとで鋭い誤差推定を導出するにあたり、|f''| の L^q ノルムは果たす役割は何か？

主な発見

• λ ∈ [0, 1/2] の場合、誤差境界は ≤ (b−a)²/24 × (8λ³ − 3λ + 1)(|f''(a)| + |f''(b)|) であり、|f''| がP-凸である場合に古典的境界を改善する。
• λ ∈ [1/2, 1] の場合、境界は ≤ (b−a)²/24 × (3λ − 1)(|f''(a)| + |f''(b)|) であり、K < M のとき (1.3) よりも鋭い推定を与える。
• λ = 1 のとき、境界は ≤ (b−a)²/24 × (|f''(a)|^q + |f''(b)|^q)^{1/q} となり、|f''| が有界である場合に (1.4) に帰着する。
• λ = 1/3 のとき、Simpson型境界は ≤ (b−a)²/162 × (|f''(a)|^q + |f''(b)|^q)^{1/q} であり、P-凸性のもとで古典的 (1.2) を改善する。
• |f''| ≤ M のとき、境界は ≤ M(b−a)²/24 × 2^{1/q} に簡略化され、K < M のとき (1.3) よりも鋭い。
• f(x) = x^n に応用することで、A(a,b), L_n(a,b), A^n(a,b) 間の明示的不等式が得られ、|n(n−1)| ≥ 3 かつ q ≥ 1 のとき有効である。