[論文レビュー] New inequalities involving the Geometric-Arithmetic index

José M. Rodrı́guez, Juan A. Rodríguez‐Velázquez+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2016

Graph theory and applications参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、化学における定量的構造活性相関および構造-性質相関に用いられるトポロジカル指標である幾何平均-算術平均指数 $GA_1$ に関連する新たな不等式を確立する。コーシー＝シュワルツの不等式を適用し、次数に基づくグラフ不変量を分析することで、修正ナラミ-カタヤマ指標およびべき乗和に基づく $GA_1$ のより鋭い上限・下限が導出され、等号が成立するのはグラフが正則である場合に限ることが証明される。

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a simple connected graph and $d_i$ be the degree of its $i$th vertex. In a recent paper [J. Math. Chem. 46 (2009) 1369-1376] the first geometric-arithmetic index of a graph $G$ was defined as $$GA_1=\sum_{ij\in E}\frac{2 \sqrt{d_i d_j}}{d_i + d_j}.$$ This graph invariant is useful for chemical proposes. The main use of $GA_1$ is for designing so-called quantitative structure-activity relations and quantitative structure-property relations. In this paper we obtain new inequalities involving the geometric-arithmetic index $GA_1$ and characterize the graphs which make the inequalities tight. In particular, we improve some known results, generalize other, and we relate $GA_1$ to other well-known topological indices.

研究の動機と目的

• 幾何平均-算術平均指数 $GA_1$ を含む新たな鋭い不等式を確立すること。
• 他のトポロジカル指標を用いた $GA_1$ の既知の境界を一般化・改善すること。
• 導出された不等式が等号に達するグラフを特定すること、特に正則グラフに焦点を当てる。
• $GA_1$ と修正ナラミ-カタヤマ指標およびべき乗和に基づく指標 $R_\alpha(G)$ の関係を明らかにすること。
• 理論的境界の精錬を通じて、$GA_1$ の定量的構造-性質相関（QSPR）における予測的有用性を高めること。

提案手法

• コーシー＝シュワルツの不等式を用いて $GA_1$ をべき乗和 $R_\alpha(G)$ と $R_{-\alpha}(G)$ の積に分解する。
• 補題 2.6 を用いて、頂点次数の極値 $\delta$ と $\Delta$ に基づいた $\frac{2\sqrt{d_ud_v}}{d_u + d_v}$ の比を評価する。
• グラフの構造的パラメータとして、修正ナラミ-カタヤマ指標 $NK^*(G) = \prod_{u \in V(G)} d_u^{d_u}$ を導入する。
• 相加平均-相乗平均の不等式を用いて、$R_\alpha(G)$ および $NK^*(G)^{\alpha/m}$ を用いた $GA_1$ の境界を導出する。
• 次数の一様性を用いて等号条件を特定する極値ケースを分析する。
• 既知の境界を $\alpha = 1$ から任意の $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ に一般化し、$\alpha \leq -1/2$ および $\alpha \geq -1/2$ の場合にそれぞれ別々に取り扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 べき乗平均およびコーシー＝シュワルツの技法を用いて、幾何平均-算術平均指数 $GA_1$ に関連する新たな不等式はどのように導出可能か？
• RQ2 $GA_1$ の境界は、最小および最大の頂点次数 $\delta$ と $\Delta$ にどのように依存するか？
• RQ3 導出された $GA_1$ の不等式において、等号が成立するのはどのようなグラフ条件の下か？
• RQ4 $GA_1$ はどのようにして修正ナラミ-カタヤマ指標 $NK^*(G)$ およびべき乗和 $R_\alpha(G)$ と関連しているか？
• RQ5 統一されたパrameter $\alpha$ を用いることで、既存の $GA_1$ の境界を一般化・改善できるか？

主な発見

• 任意の $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ に対して不等式 $GA_1(G) \leq \sqrt{R_\alpha(G) R_{-\alpha}(G)}$ が導出され、等号が成立するのは $G$ が正則である場合に限る。
• $\alpha \geq 1$ の場合、下限 $GA_1(G) \geq \frac{2\Delta^{\alpha-1/2}\delta^{\alpha+1/2}}{\Delta^{2\alpha} + \delta^{2\alpha}} \sqrt{R_\alpha(G) R_{-\alpha}(G)}$ が確立され、等号は正則グラフの場合にのみ成立する。
• $0 < \alpha \leq 1$ の場合、同様の下限が導出され、等号が成立するのは $G$ が正則である場合に限る。
• すべての $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ に対して不等式 $R_\alpha(G) \geq m \cdot NK^*(G)^{\alpha/m}$ が成り立ち、等号が成立するのはすべての辺次数積 $d_u d_v$ が等しい場合に限る。
• 系 2.14 は、$\delta$ と $\Delta$ を組み込んだことで、既知の $GA_1(G)$ の下限を改善し、等号が成立するのは $G$ が正則である場合に限る。
• 導出された境界は、既存の結果（例：[29, 定理 4]）を一般化し、パrameter $\alpha$ を導入することで $\delta$ と $\Delta$ への依存関係を精錬し、より鋭い境界を達成する。