[論文レビュー] New Inequalities Of Hermite-Hadamard Type For Convex Functions With Applications

Havva Kavurmacı, Merve Avcı+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2010

Mathematical Inequalities and Applications被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、絶対値の最初の導関数が凸である微分可能な凸関数に対して、積分恒等式と Hölder の不等式を用いて、新しいヘルメート・ハダマール型の不等式を確立する。主な貢献は、導関数のノルムに関する改良された凸性に基づく境界を用いて、数値積分における台形則の鋭い誤差境界を改善することにある。

ABSTRACT

In this paper, some new inequalities of the Hermite-Hadamard type for functions whose modulus of the derivatives are convex and applications for special means are given. Finally, some error estimates for the trapezoidal formula are obtained.

研究の動機と目的

• 絶対値の導関数が凸である微分可能な関数に対する、ヘルメート・ハダマール型の新しい積分不等式を導出すること。
• |f′| の凸性を用いて、数値積分における台形則の既存の誤差境界を改善すること。
• 算術平均や対数平均などの特殊平均への新しい不等式の応用。
• 従来の研究よりも弱い滑らかさの仮定の下で、求積則のよりタイトな誤差推定を提供すること。

提案手法

• 区間 [a,b] 内のパラメータ x を含む新しい積分恒等式を導出し、f(a), f(b) の重み付き平均と積分平均の差を表現する。
• Hölder の不等式と |f′| の凸性を用いて、積分恒等式における剰余項を評価する。
• p と q のノルムに関するべき平均および Hölder 型の不等式を用いて、|f′| のノルムに依存する境界を導出する。
• f(x) = x^n および f(x) = 1/x といった特定の関数に主不等式を適用し、特殊平均に対する明示的推定を導出する。
• [a,b] の分割における局所的誤差境界を合算することで、合成台形則への一般化を図る。
• |f′|^{p/(p−1)} が凸である、または |f′|^q が凹であるという仮定の下で、台形公式の誤差推定を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 絶対値の最初の導関数が凸である関数に対して、どのように新しいヘルメート・ハダマール型不等式を導出できるか？
• RQ2 |f′| の凸性を用いて、台形則の誤差境界をどの程度タイトにできるか？
• RQ3 Dragomir と Agarwal (1998) や Kırmacı ら (2003) の既存の結果と比較して、これらの新しい境界はどのように異なるか？
• RQ4 新しい不等式を用いて、A(a,b)、L(a,b)、A(a⁻¹,b⁻¹) のような特殊平均に対する明示的推定を導出できるか？
• RQ5 |f′|^q が凹であるか、|f′|^{p/(p−1)} が凸である場合に、誤差推定における最適定数は何か？

主な発見

• 新しい不等式が確立された：x ∈ [a,b] に対して、重み付き平均 ((b−x)f(b)+(x−a)f(a))/(b−a) と積分平均の間の誤差は、|f′(x)|、|f′(a)|、|f′(b)| を含む (x−a)² および (b−x)² 項の組み合わせで抑えられる。
• x = (a+b)/2 のとき、境界は |(f(a)+f(b))/2 − 1/(b−a)∫ₐᵇ f(u)du| ≤ (b−a)/12 (|f′(a)| + |f′((a+b)/2)| + |f′(b)|) に簡略化され、古典的な 1/8 の境界を改善する。
• f(x) = xⁿ (|n| ≥ 2) の場合、不等式は算術平均およびべき平均に対する明示的推定を与える。誤差項には A(|a|ⁿ⁻¹, |b|ⁿ⁻¹) が含まれる。
• f(x) = 1/x (x ≠ 0) の場合、不等式は調和平均と対数平均の差に対する境界を提供し、誤差項は A(|a|⁻², |b|⁻²) に比例する。
• 分割 d における台形則では、|f′|^{p/(p−1)} が凸であるとき、誤差は (1/(p+1))¹ᐟᵖ (1/2)¹ᐟᑫ ∑(xᵢ₊₁−xᵢ)²/2 (|f′(xᵢ)| + |f′(xᵢ₊₁)|) で抑えられる。
• |f′|^q が凹である場合、誤差境界は ( (q−1)/(2q−1) )^{(q−1)/q} ∑(xᵢ₊₁−xᵢ)²/4 (|f′((3xᵢ+xᵢ₊₁)/4)| + |f′((xᵢ+3xᵢ₊₁)/4)|) に簡略化され、従来の結果よりもタイトな推定が得られる。