[論文レビュー] New inequalities of Ostrowski's type for s-convex functions in the second sense with applications

Erhan Set, M. Emіn Özdemіr+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2010

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 13被引用数 52

ひとこと要約

本稿では、絶対値の導関数が第二種のs-凸関数である関数に対する新しいオストロフスキー型不等式を、積分表現とべき平均不等式を用いて確立する。主な貢献は、パラメータs、p、qに依存する鋭い上限であり、これは古典的なオストロフスキー不等式を一般化し、特殊平均や中点求積法の誤差推定への応用を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we establish some new inequalities of Ostrowski's type for functions whose derivatives in absolute value are the class of s-convex. Some applications for special means of real numbers are also provided. Finally, some error estimates for the midpoint formula are obtained.

研究の動機と目的

• 絶対値の導関数が第二種のs-凸関数である関数に対するオストロフスキーの不等式を拡張すること。
• s-凸性の仮定の下で、特に中点公式に対するより鋭い誤差境界を導出すること。
• 確立された不等式を用いて、実数の特殊平均への応用を提供すること。
• パラメータs ∈ (0,1]とLp-Lqノルムを組み込むことにより、既存のオストロフスキー型不等式の結果を一般化すること。
• s-凸性とべき平均不等式を活用して、数値解析における誤差推定を改善すること。

提案手法

• 区間[0,1]に定義されたカーネル関数p(t)を用いた新しい積分表現を導出。f(x)をf'を用いて積分で表現する。
• 共役指数pとq（1/p + 1/q = 1を満たす）を用いて、 Hölderの不等式を積分表現に適用。
• 第二種のs-凸性の定義を用いる：α ∈ [0,1]、s ∈ (0,1]に対して、f(αx + (1−α)y) ≤ α^s f(x) + (1−α)^s f(y)。
• べき平均不等式と凸性不等式を用いて、端点の値で導関数のL1ノルムを評価。
• パラメータs、p、qおよび中点x = (a+b)/2を含む新しい不等式を導出し、証明する。
• 主な結果を応用して、分割の各部分区間における中点求積公式の誤差境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 絶対値の導関数が第二種のs-凸関数である関数に対して、オストロフスキー型不等式をどのように一般化できるか？
• RQ2 |f'|^q がs-凸関数であるとき、中点則の誤差境界における最適定数は何か？
• RQ3 新しい不等式を用いて、算術平均や対数平均などの特殊平均に対して意味のある推定を導出できるか？
• RQ4 s-凸性仮定の下で、導出された中点公式の誤差境界は、凸性仮定の下での古典的境界と比べてどう異なるか？
• RQ5 パラメータs ∈ (0,1]は、数値積分法の収束速度を鋭くする役割を果たすか？

主な発見

• 第二種のs-凸関数に対する新しいオストロフスキー型不等式が確立され、その境界はs、p、qに依存する：|f(x) − 1/(b−a)∫ₐᵇ f(u)du| ≤ (1/(1+p)^{1/p}) × (2/(s+1))^{1/q} × {(x−a)^2 + (b−x)^2}/(b−a) × M。
• 定数(2/(s+1))^{1/q}は、|f'|^q がs-凸関数であるとき、s ∈ (0,1]において、改善できない最適な定数である。
• 中点公式に対して、誤差境界は|E(f,d)| ≤ 1/(4(1+p)^{1/p}) × Σ(x_{i+1}−x_i)^2 (|f'(x_i)| + |f'(x_{i+1})|) と表される（|f'|^q が凸であると仮定）。
• コロナリー5およびコロナリー6を用いることで、( |f'(x_i)|^q + 3|f'(x_{i+1})|^q )^{1/q} 項を含む改善された誤差推定が得られる。
• 特殊平均への応用により、|A^s(a,b) − L_s^s(a,b)| ≤ s(b−a)/4 × 1/(p+1)^{1/p} × [(A^{q(s−1)} + b^{q(s−1)})/(s+1)]^{1/q} + 同様の項が得られる。
• 結果は古典的なオストロフスキーおよびエームィット＝ハダマールの不等式を一般化しており、s = 1とすると既知の凸性に基づく境界が回復される。