[論文レビュー] New invariants for CR and contact manifolds. I

Raphaël Ponge|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、CR多様体および接触多様体のための新しい不変量を、幾何学的擬微分作用素の非可換トレースを計算することによって導入する。特に、CR設定におけるSzego射影と接触設定における一般化されたSzego射影を含む。本研究はHirachiとBoutet de Monvelの結果を回復・拡張し、CR幾何における曲率不変量に関してFeffermanが提起した疑問を解決する。

ABSTRACT

In this paper we produce several new invariants for CR and contact manifolds by looking at the noncommutative residue traces of various geometric ΨHDO projections. In the CR setting these operators arise from the ∂b complex and include the Szegö projections. In the contact setting they stem from the generalized Szegö projections at arbitrary integer levels of Epstein-Melrose and from the contact complex of Rumin. In particular, we recover and extend recent results of Hirachi and Boutet de Monvel and answer to a question of Fefferman.

研究の動機と目的

• 非可換トレースを用いて、CR多様体および接触多様体のための新しい幾何学的不変量を構成すること。
• 最近のHirachiおよびBoutet de MonvelによるCR幾何における曲率不変量に関する結果を拡張すること。
• Feffermanが提起した、このような不変量の存在と性質に関する長年の疑問に応えること。
• ∂b複体およびRuminの接触複体を含む、さまざまな幾何学的複体における不変量の構成を統一・一般化すること。

提案手法

• CR幾何における∂b複体から生じる射影の非可換トレースを計算すること。
• 接触設定においてEpsteinとMelroseが定義した任意の整数レベルにおける一般化されたSzego射影を分析すること。
• Ruminの接触複体からの射影に非可換トレースを適用すること。
• トレース不変量を用いて多様体構造から曲率および幾何的データを抽出すること。
• 得られたトレースがCRおよび接触微分同相写像の下で不変であり、幾何学的に意味を持つことを確立すること。
• これらのトレースが、従来の曲率不変量では捉えきれない、新しい非自明な不変量を生み出すことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CRおよび接触多様体における幾何的射影の非可換トレースから、どのような新しい幾何学的不変量を抽出できるか？
• RQ2 これらの不変量は、HirachiおよびBoutet de Monvelが構築した既存の曲率不変量とどのように関係しているか？
• RQ3 非可換トレースの構成が、FeffermanがCR幾何におけるこのような不変量の存在に関して提起した疑問を解消できるか？
• RQ4 これらの不変量は、∂b複体やRuminの接触複体といった幾何学的複体の選択にどれほど依存するか？
• RQ5 得られる不変量は、CRまたは接触微分同相写像の下で安定的または不変的か？

主な発見

• CR設定におけるSzego射影の非可換トレースは、従来の曲率に基づく不変量を拡張する、新しい非自明な不変量を生み出す。
• 接触設定における一般化されたSzego射影の任意の整数レベルへの一般化は、新たな不変量の族を生み出す。
• 本手法はHirachiおよびBoutet de Monvelの結果を回復・拡張し、それらの不変量を統一的な枠組みで扱えるようにする。
• 不変量が幾何学的に意味を持ち、CRおよび接触微分同相写像の下で不変であることが示された。
• 本アプローチにより、Feffermanの問いに明示的なトレース構成を通じて答えが与えられ、このような不変量の存在が裏付けられた。
• Ruminの接触複体から得られる不変量は、古典的曲率不変量を超えた接触多様体の幾何を研究するための新たな道具を提供する。