[論文レビュー] New large graphs with given degree and diameter

Francesc Comellas, J. Gómez|ArXiv.org|Nov 3, 1994

Interconnection Networks and Systems参考文献 10被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、最大次数Δと直径Dを指定した大きな無向グラフの新規構成法を提示する。特に直径6に焦点を当てている。一般化されたヘキサゴンHq（一般化ヘキサゴン）における二部グラフのモアーブounds（モアーモンジング）の頂点置換技術を一般化することで、頂点を完全グラフK_hに置き換えることにより、グラフの次数を著しく向上させた。その結果、Δ = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14およびD = 6の状況で、これまでに知られていた最大の(∆, D)グラフが得られた。

ABSTRACT

In this paper we give graphs with the largest known order for a given degree $Δ$ and diameter $D$. The graphs are constructed from Moore bipartite graphs by replacement of some vertices by adequate structures. The paper also contains the latest version of the $(Δ, D)$ table for graphs.

研究の動機と目的

• 指定された次数Δと直径Dに対して、これまでに知られていたものよりも大きなグラフを構成すること、特にD=6の状況に焦点を当てる。
• 既存の二部グラフモアーブoundsを頂点置換によって変更することで、モアーブounds近似を改善すること。
• 複合グラフ技術を拡張し、複数の頂点を完全グラフに置き換えることで、直径が制限されたまま保たれるようにすること。
• D ≤ 8およびΔ ≤ 14の状況で、これまでに知られていた最大の(∆, D)-グラフの包括的かつ最新の表を提供すること。
• 直径を維持または改善しつつグラフ次数を増加させるための一般的な頂点置換ルールを提示すること。

提案手法

• Quisquaterの頂点置換技術を一般化し、一般化ヘキサゴンHqの複数の頂点を完全グラフK_hに置き換える。
• Hq内の頂点をK_h（h < Δ）のコピーに置き換え、直径を維持または最小限に抑えるために新たな辺を追加する。
• 構成法により、置換後もすべての頂点ペアが距離D=6以内に保たれることを保証する。
• H3、H4、H5にこの手法を適用し、それぞれ6つの頂点をK3とK4に置換することで、H3(K3)、H4(K4)、H5(K4)を構成する。
• H4(K4)およびH5のグラフをさらに向上させるために、複合技術を用い、より大きな(7,6)グラフを生成する。
• 一般化ヘキサゴンの構造的性質と距離分布を活用し、直径制約を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の二部グラフモアーブoundsを変更することで、直径D=6の状況で(∆, D)-グラフの次数を著しく増加させることは可能か？
• RQ2 次数Δと直径D=6のグラフで、得られる頂点数の最大値は何か？ また、モアーブoundsと比較するとどうなるか？
• RQ3 直径を維持しつつグラフ次数を増加させる一般的な頂点置換ルールを開発することは可能か？
• RQ4 得られたグラフは、カイリー・グラフ、コードラル・リング、および複合グラフといった既存の構成法と比較してどのように異なるか？
• RQ5 直径を増加させずに次数を最大化するための、完全グラフK_hの最適な数と配置は何か？

主な発見

• Δ=4の状況で、740頂点、直径6のH3(K3)を構成し、Δ=4の新しい記録を樹立した。
• Δ=5の状況で、2,754頂点、直径6のH4(K4)を構成し、Δ=5の新しい基準を確立した。
• Δ=6の状況で、7,860頂点、直径6のH5(K4)を構築し、Δ=6の状況でこれまでに知られていた最大の(∆, D)-グラフを達成した。
• H4(K4)とH5を複合技術で結合することで、10,566頂点、直径6の(7,6)グラフを達成した。
• D=6およびΔ ≥ 4の状況で、これまでの(∆, D)表の記録を著しく上回る新しい構成が得られた。
• 更新された表には、Δが3から14、Dが2から8の範囲で、これまでに知られていた最大のグラフが含まれており、新しいエントリは太字で表示されている。