[論文レビュー] New Limits for Knowledge Compilation and Applications to Exact Model Counting

Paul Beame, Vincent Liew|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2015

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 19被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、自然な問題クラスに対するSDDおよびDNNFのサイズに関する新たな指数的下界を確立し、SDDが結合選言クエリの和集合に対してOBDDよりもよりコンパクトに表現できるとは限らないこと、および特定の2-DNF式に対してはFBDDよりも指数的に非効率的であることを示している。SDDサイズと最良分割通信複雑性の間の新しい関係を導入することで、集合非交差問題への還元により強力な下界を得ることが可能になった。

ABSTRACT

We show new limits on the efficiency of using current techniques to make exact probabilistic inference for large classes of natural problems. In particular we show new lower bounds on knowledge compilation to SDD and DNNF forms. We give strong lower bounds on the complexity of SDD representations by relating SDD size to best-partition communication complexity. We use this relationship to prove exponential lower bounds on the SDD size for representing a large class of problems that occur naturally as queries over probabilistic databases. A consequence is that for representing unions of conjunctive queries, SDDs are not qualitatively more concise than OBDDs. We also derive simple examples for which SDDs must be exponentially less concise than FBDDs. Finally, we derive exponential lower bounds on the sizes of DNNF representations using a new quasipolynomial simulation of DNNFs by nondeterministic FBDDs.

研究の動機と目的

• SDDおよびDNNFの知識コンパイルにおける表現の簡潔さの根本的限界を確立すること。
• SDDが自然なクエリクラスにおいてOBDDやFBDDに比べて顕著な利点を提供するかどうかという未解決の問いを解消すること。
• SDDサイズと最良分割通信複雑性を結びつける新しい特徴付けを構築すること。
• 通信複雑性の手法を用いてSDDおよびDNNFの指数的下界を導出すること。
• SDDが結合選言クエリの和集合に対して、OBDDよりも質的改善をもたらさないことを示すこと。

提案手法

• SDDサイズと最良分割通信複雑性の間の関係を確立し、SDDサイズがバランスの取れた変数分割の通信複雑性によって上限付けられることを示した。
• 非交差問題への還元を用いて、自然なクエリクラスにおけるSDDサイズの指数的下界を導出した。
• 一般DNNFをOR-FBDDによって準多項式的にシミュレートする構成を行い、DNNFの下界をOR-FBDDの下界から導出した。
• PERMₙやROW-COLₙといった関数におけるOR-FBDDの既知の指数的下界を活用し、それらに対応するDNNFの下界を導出した。
• Yannakakisの非一意的プロトコルの決定的シミュレーションを用いて、中間の非一意的プロトコルを通じてSDDと通信複雑性を関連づけた。
• SDDのvtree構造を用いて、2人のプレイヤー間のほぼバランスの取れた変数分割を定義し、通信量をlog²Sビットに制限した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SDDは結合選言クエリの和集合（UCQs）を、OBDDよりもより簡潔に表現できるか？
• RQ2 SDDがFBDDよりも指数的に非効率的になる自然な2-DNF式のクラスは存在するか？
• RQ3 SDDをOBDDによって準多項式的にシミュレートする一般的構成は存在するか？（既知のDNNFのFBDDによる準多項式的シミュレートと一致するか？）
• RQ4 関数の最良分割通信複雑性を用いて、その関数を表現するのに必要な最小SDDサイズを特徴付けられるか？
• RQ5 SDDは、構造的知識コンパイルの文脈で、決定的DNNFよりも表現の簡潔さにおいて質的優位性を提供するか？

主な発見

• 結合選言クエリ（UCQs）の文脈では、SDDサイズが線形であることとOBDDサイズが線形であることとは同値であり、そうでない場合には両者とも指数的である。これは、SDDがこのクラスに対してOBDDよりも質的改善を提供しないことを意味する。
• FBDDサイズが多項式であるがSDDサイズが指数的であるような2-DNF式が存在し、SDDがFBDDよりも指数的に非効率的であることが示された。
• 本稿では、DNNFをOR-FBDDによって準多項式的にシミュレートする手法を確立し、これによりPERMₙおよびROW-COLₙにおける既知のOR-FBDDの下界がDNNFの下界に継承されることを示した。
• 関数fを表現するのに必要なSDDサイズは、2^√C以下に抑えられる。ここでCはfの最良分割通信複雑性である。これは、SDDサイズとOBDDサイズの間で準多項式的ギャップが存在することを示している。
• 通信複雑性による特徴付けは、高き最良分割通信複雑性を要する関数をSDDが効率的に表現できないことを示唆している。
• 本研究の結果は、SDDがUCQに対してOBDDよりもより簡潔に表現できないこと、および特定の2-DNF式に対してはFBDDよりも指数的に非効率的であることを示しており、その相対的な簡潔さに関する主要な未解決問題を解決した。