[論文レビュー] New MDS Self-Dual Codes from Generalized Reed-Solomon Codes

Lingfei Jin, Chaoping Xing|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般化リード・ソロモン（GRS）符号を用いて、奇数の特徴を持つ有限体上での新しいMDS自己双対符号のクラスを構築する。評価点の差の平方性条件を分析し、部分体上での斉次系を解くことにより、$q \equiv 1 \pmod{4}$ かつ $q \geq 4^n n^2$ のとき、または特定の条件下で $q = r^2$ のとき、偶数長 $n$ の $q$-元MDS自己双対符号の存在を証明する。これらの条件には、$n \leq r$、$n-1 \mid q-1$、または $n = 2tr$ かつ $r \equiv 3 \pmod{4}$ かつ $t \leq (r-1)/2$ が含まれる。これらの結果は、既知の存在定理を拡張し、GRS符号を用いた明示的構成を提供する。

ABSTRACT

Both MDS and Euclidean self-dual codes have theoretical and practical importance and the study of MDS self-dual codes has attracted lots of attention in recent years. In particular, determining existence of $q$-ary MDS self-dual codes for various lengths has been investigated extensively. The problem is completely solved for the case where $q$ is even. The current paper focuses on the case where $q$ is odd. We construct a few classes of new MDS self-dual code through generalized Reed-Solomon codes. More precisely, we show that for any given even length $n$ we have a $q$-ary MDS code as long as $q\equiv1\bmod{4}$ and $q$ is sufficiently large (say $q\ge 2^n imes n^2)$. Furthermore, we prove that there exists a $q$-ary MDS self-dual code of length $n$ if $q=r^2$ and $n$ satisfies one of the three conditions: (i) $n\le r$ and $n$ is even; (ii) $q$ is odd and $n-1$ is an odd divisor of $q-1$; (iii) $r\equiv3\mod{4}$ and $n=2tr$ for any $t\le (r-1)/2$.

研究の動機と目的

• 奇数の位数を持つ有限体上での新しいMDS自己双対符号のクラスの構築を通じて、既知の存在結果を拡張すること。
• 代数的数論と指標和を活用して、一般化リード・ソロモン符号が自己双対となる十分条件を確立すること。
• 奇数の $q$ に対して、偶数長の $q$-元MDS自己双対符号の存在問題を、特に大きな $q$ または $q = r^2$ の場合に解決すること。
• 部分体上の評価集合と解系を用いた明示的構成を提供し、直交設計や準巡回符号に基づく従来の手法を改善すること。

提案手法

• 有限体 $\mathbb{F}_q$ 内の評価点 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ と非ゼロ重み $v_i$ を用いて定義される一般化リード・ソロモン符号を用いてMDS符号を生成すること。
• 自己双対性を保証するため、積 $\prod_{j \neq i} (\alpha_i - \alpha_j)^{-1}$ が $\mathbb{F}_q$ 内で平方であるかどうかを分析すること。
• Weil型の境界を用いた指標和推定を応用し、$q \equiv 1 \pmod{4}$ かつ $q$ が十分に大きいとき、すべての差 $\alpha_n - \alpha_i$ が非ゼロの平方となるような $\alpha_n$ の存在を示すこと。
• $q = r^2$ の場合に、$\mathbb{F}_r$ 上の斉次系 $A_\mathbf{a} \mathbf{x}^T = \mathbf{0}$ の解を構成し、補題II.9を用いて自己双対性を保証すること。
• $\mathbb{F}_{r^2}$ 内のノルムおよびトレースの性質を用いて、差の積が平方であることを検証すること。特に $r \equiv 3 \pmod{4}$ の場合に有効である。
• 評価点を $\alpha_{\ell r + k} = a_\ell \beta + a_k$ および $\beta = \gamma^{(r+1)/2}$ と明示的にパrameter化することで、積項の平方性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数の $q$ および偶数長 $n$ に対して、$q$-元MDS自己双対符号が存在する条件は何か？
• RQ2 適切な評価点と重みを選択することで、$\mathbb{F}_q$ 上で一般化リード・ソロモン符号を自己双対にできるか？
• RQ3 奇数の $q \equiv 1 \pmod{4}$ の場合に、$q$-元MDS自己双対符号の存在を保証するための、$q$ と $n$ の最小の相対的サイズは何か？
• RQ4 $\mathbb{F}_{r^2}$ の構造は、$n = 2tr$ かつ $r \equiv 3 \pmod{4}$ の場合にMDS自己双対符号を構成するためにどのように寄与するか？
• RQ5 既知の文献における場合を越えて、特に $q = r^2$ および $n-1 \mid q-1$ の場合にMDS自己双対符号の存在を拡張できるか？

主な発見

• 任意の偶数長 $n$ に対して、$q \equiv 1 \pmod{4}$ かつ $q \geq 4^n n^2$ のとき、$q$-元MDS自己双対符号が存在する。これは、大きな $q$ に対して一般化された存在結果を提供する。
• $q = r^2$ かつ $n \leq r$ のとき、長さ $n$ の $q$-元MDS自己双対符号が存在する。これは、既知の構成法の範囲を拡張する。
• $q = r^2$、$q$ が奇数、かつ $n-1$ が $q-1$ を割り切るとき、長さ $n$ の $q$-元MDS自己双対符号が存在する。これは[11]の結果を一般化し、条件 $n-1 \mid r-1$ を緩和する。
• $q = r^2$ で $r \equiv 3 \pmod{4}$、$n = 2tr$ かつ $t \leq (r-1)/2$ のとき、長さ $n$ の $q$-元MDS自己双対符号が存在する。これは、パラメータ $[2tr, tr, tr+1]$ を持つ新しい族を提供する。
• 部分体上での一般化リード・ソロモン符号と解系を用いた構成法により、直交設計や準巡回構造に依存しない自己双対符号が得られる。
• 指標和推定を用いた証明技法により、すべての差 $\alpha_i - \alpha_j$ が非ゼロの平方となるような評価点の存在が保証され、これが自己双対性の鍵となる。