[論文レビュー] New methods for bounding the number of points on curves over finite fields

Everett W. Howe, Kristin Lauter|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2012

Coding theory and cryptography被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、有限体上の曲線の有理点の最大数を評価するための4つの新しい数論的技法を導入し、多数のケースでNq(g)の既知の上界を改善した。アーベル多様体の同一型類の解析、縮約結果式の使用、定数楕円曲線の関数体上のモーデル・ヴェイユ格子にバーチ・スミトン＝ダイヤー予想を適用することにより、点数の鋭い上界およびシャファレヴィッチ・ツァン・グループの位数の上界が得られ、N4(7) = 21およびN8(5) = 29の証明を含む。

ABSTRACT

We provide new upper bounds on N_q(g), the maximum number of rational points on a smooth absolutely irreducible genus-g curve over F_q, for many values of q and g. Among other results, we find that N_4(7) = 21 and N_8(5) = 29, and we show that a genus-12 curve over F_2 having 15 rational points must have characteristic polynomial of Frobenius equal to one of three explicitly given possibilities. We also provide sharp upper bounds for the lengths of the shortest vectors in Hermitian lattices of small rank and determinant over the maximal orders of small imaginary quadratic fields of class number 1. Some of our intermediate results can be interpreted in terms of Mordell-Weil lattices of constant elliptic curves over one-dimensional function fields over finite fields. Using the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for such elliptic curves, we deduce lower bounds on the orders of certain Shafarevich-Tate groups.

研究の動機と目的

• Fq 上の滑らかで絶対的・非特異な genus-g 曲線の有理点の最大数 Nq(g) の上界を改善すること。
• 有限体上のアーベル多様体の同一型類に含まれるジャコビアンを含まない条件を特定するための新しい技法を開発すること。
• 類数1の虚二次体の整数環上の小ランクのヘルミート格子における最短非ゼロベクトルの長さに対する鋭い上界を確立すること。
• 関数体上の定数楕円曲線にバーチ・スミトン＝ダイヤー予想を適用し、シャファレヴィッチ・ツァン・グループの位数に対する下界を導出すること。
• F2 上の genus-12 曲線に15個の有理点がある場合の、フロベニウスの特徴多項式に適用可能な明示的制約を提供すること。

提案手法

• アーベル多様体の実ウェイリ多項式に関連する議論において、結果式の代わりに縮約結果式を導入すること。
• 特異でないEと任意の普通な多様体Aの積En × Aに同種であるジャコビアンの非存在性に関する結果を、超特異なEから一般の普通な多様体Aへと拡張すること。
• ジャコビアンがA × Enに同種である場合の、曲線から楕円曲線への写像の次数に関する上限を、判別式と縮約結果式を用いて導出すること。
• 類数1の虚二次体の最大整数環上の小ランクのヘルミート格子における最短非ゼロベクトル長の鋭い上界を計算するためのアルゴリズムを構築すること。
• 有限体上のアーベル多様体の完全な普通の同一型類が部分体上に定義可能であるための必要十分条件を証明すること。
• 関数体上の定数楕円曲線にバーチ・スミトン＝ダイヤー予想を適用し、モーデル・ヴェイユ格子の行列式とシャファレヴィッチ・ツァン・グループの位数を関連付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのペア (q, g) に対して、新しい同一型類の障害を用いて既存の上界 Nq(g) を改善できるか？
• RQ2 A と B の縮約結果式に特徴づけられる性質を満たすとき、A × B を含む同一型類がジャコビアンを含まない条件は何か？
• RQ3 類数1の虚二次体の整数環上の小ランク・小行列式のヘルミート格子における最短非ゼロベクトルの長さに対する最も鋭い上界は何か？
• RQ4 バーチ・スミトン＝ダイヤー予想を関数体上の定数楕円曲線に適用することで、シャファレヴィッチ・ツァン・グループの位数に対する下界をどのように導出できるか？
• RQ5 F2 上の genus-12 曲線に15個の有理点がある場合の、フロベニウスの特徴多項式として可能なものは何か？

主な発見

• 本稿は、N4(7) = 21 であることを確立し、有限体上での点数問題における以前未解決だったケースを解決した。
• N8(5) = 29 であることを証明し、F8 上の genus-5 曲線の有理点数の最大値として新たな正確な値を提供した。
• F2 上の genus-12 曲線に15個の有理点がある場合、フロベニウスの特徴多項式は明示的に与えられた3通りの可能性のいずれかに限られる。
• 類数1の虚二次体の整数環上の小ランク・小行列式のヘルミート格子における最短非ゼロベクトル長の鋭い上界を計算した。
• バーチ・スミトン＝ダイヤー予想の下で、導出されたシャファレヴィッチ・ツァン・グループの位数の平方根に対する明示的公式が得られた。この公式は、導手、判別式、同種写像の次数を用いて表される。
• この研究を manypoints.org データベースに統合した際、2009年版のヴァン・デル・ギア＝ヴァン・デル・フロイト表の上界の16％以上が改善された。