[論文レビュー] New methods for calculating the degree distance and the Gutman index

Simon Brezovnik, Niko Tratnik|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2018

Graph theory and applications参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、グラフの辺集合のΘ*-分割に基づく重み付き商グラフを用いて、次数距離およびGutman指標の新しい計算手法を提案する。これらの指標は、商グラフのウィーナー指数を用いて計算可能であり、特に、Gutman指標の境界がかつては部分ハミンググラフである場合にのみ等号成立することを示しており、Hₙのような特定の族に対して正確な公式が得られる。

ABSTRACT

In the paper we develop new methods for calculating the two well-known topological indices, the degree-distance and the Gutman index. Firstly, we prove that the Wiener index of a double vertex-weighted graph can be computed from the Wiener indices of weighted quotient graphs with respect to a partition of the edge set that is coarser than $Θ^*$-partition. This result immediately gives a method for computing the degree-distance of any graph. Next, we express the degree-distance and the Gutman index of an arbitrary phenylene by using its hexagonal squeeze and inner dual. In addition, it is shown how these two indices of a phenylene can be obtained from the four quotient trees. Furthermore, reduction theorems for the Wiener index of a double vertex-weighted graph are presented. Finally, a formula for computing the Gutman index of a partial Hamming graph is obtained.

研究の動機と目的

• 任意のグラフの次数距離およびGutman指標を計算する一般化可能な手法を開発すること。
• カット法の技術を二重頂点重み付きグラフに拡張し、それらをトポロジカル指標に応用すること。
• フェニレンの次数距離およびGutman指標を、そのヘキサゴナルスイズおよび内部双対を用いて表現すること。
• 二重頂点重み付きグラフのウィーナー指数の還元定理を導出し、指標計算の簡略化を図ること。
• Gutman指標のタイトな不等式を確立し、部分ハミンググラフを用いて等号成立条件を特徴づけること。

提案手法

• グラフの辺集合のΘ*-分割を用いて商グラフを定義し、ウィーナー指数の計算を分解可能にする。
• 一般化されたカット法を適用し、Θ*よりも粗い分割に関して、二重頂点重み付きグラフのウィーナー指数を商グラフを用いて計算する。
• フェニレンの次数距離およびGutman指標を、ヘキサゴナルスイズおよび内部双対を用いて表現し、商ツリーを活用する。
• Θ*-辺の除去に伴う成分ごとの重み和の分析を通じて、二重頂点重み付きグラフのウィーナー指数の還元定理を導出する。
• 標準的等長埋め込みを用いてウィーナー指数と商グラフの完全性を関連付け、グラフが部分ハミンググラフである場合に限り等号成立する不等式を導出する。
• この不等式における等号成立条件を用いて、無限族Hₙ（n ≥ 2）のGutman指標の閉形式公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数距離およびGutman指標は、Θ*-分割に基づく商グラフを用いて効率的に計算可能か？
• RQ2 二重頂点重み付きグラフのウィーナー指数は、どのようにして商構造を用いて還元可能か？
• RQ3 Gutman指標と部分ハミンググラフの構造の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 フェニレンの次数距離およびGutman指標は、そのヘキサゴナルスイズおよび内部双対を用いて表現可能か？
• RQ5 重み付きグラフのウィーナー指数に関する不等式が等号成立する条件は何か？

主な発見

• 任意のグラフの次数距離およびGutman指標は、Θ*-分割よりも粗い分割に関するその商グラフのウィーナー指数を用いて計算可能である。
• フェニレンに関しては、次数距離およびGutman指標の両方が、ヘキサゴナルスイズおよび内部双対を用いて表現可能であり、4つの商ツリーから明示的な計算が可能である。
• 二重頂点重み付きグラフのウィーナー指数に関する還元定理が確立され、再帰的または成分ベースの計算が可能になる。
• 重み付きグラフのウィーナー指数に関する不等式が証明され、等号成立はかつてはグラフが部分ハミンググラフである場合に限る。
• 無限族Hₙ（n ≥ 2）のGutman指標は、正確に6n³ + 9n² − 4n + 1に等しく、不等式における等号成立条件から導出される。
• HₙのΘ*-類に関する商グラフはすべて完全であるため、Hₙが部分ハミンググラフであることが確認され、等号成立条件が妥当であることが検証される。