[論文レビュー] New Methods in Coding Theory: Error-Correcting Codes and the Shannon Capacity

Sven Polak|arXiv (Cornell University)|May 6, 2020

graph theory and CDMA systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、群作用、テンソル積、対称デザインを用いた新規な代数的枠組みを導入し、シャノン容量とネット理論を活用して誤り訂正符号を構築する。対称$(\mu,q)$-ネットとサイズ$\mu q^2$の$(n,d)_q$-符号の間の1対1対応を確立し、組合せ論的および表現論的技法を用いて、$A_4(9,6) \leq 120$の新たな上限を導出する。

ABSTRACT

In this thesis we present several results in coding theory, concerning error-correcting codes and the Shannon capacity. 1. We give a general symmetry reduction of matrices occuring in semidefinite programs in coding theory. 2. We apply the symmetry reduction to efficiently compute semidefinite programming upper bounds for nonbinary error-correcting codes equipped with the Hamming distance (joint work with Bart Litjens and Lex Schrijver), with the Lee distance and for binary constant weight codes. 3. We explore other methods to find new upper bounds for nonbinary codes with the Hamming distance, based on combinatorial divisibility arguments. 4. We study uniqueness and classification of codes, using the output of the semidefinite programming solver. Most of our classification results are related to subcodes of the binary Golay code. This is joint work with Andries Brouwer. 5. We consider the Shannon capacity of circular graphs. The circular graph $C_{d,q}$ is the graph with vertex set $\\mathbb{Z}_q$ (the cyclic group of order q) in which two distinct vertices are adjacent if and only if their distance (mod $q$) is strictly less than $d$. The Shannon capacity of $C_{d,q}$ can be seen to only depend on the fraction q/d. We prove that the function which assigns to each rational number $q/d$ the Shannon capacity of $C_{d,q}$ is continuous at integer points $q/d$. Moreover, we give a new lower bound on the Shannon capacity of the $7$-cycle. This is joint work with Lex Schrijver. This thesis was written at the University of Amsterdam under supervision of Lex Schrijver.

研究の動機と目的

• 複数の群作用$G_i$が集合$Z_i$に作用する場合の符号理論的構成を一般化すること。
• サイズ$\mu q^2$、長さ$n = \mu q$、最小距離$d = n - \mu$の符号と、対称$(\mu,q)$-ネットの間の対応関係を確立すること。
• ネット理論と組合せ的制約を用いて、$(9,6)_4$-符号の最大サイズに対する新たな上限を導出すること。
• テンソル積分解と代表集合を用いた、大きな隣接行列を低減する計算フレームワークを構築すること。
• サイズ120の$(9,6)_4$-符号が31または32ブロックを含まないことを証明し、$A_4(9,6) \leq 120$を示すこと。

提案手法

• 多群対称性のモデル化のため、$H = (G_1^{j_1} \rtimes S_{j_1}) \times \cdots \times (G_s^{j_s} \rtimes S_{j_s})$および$R = Z_1^{j_1} \times \cdots \times Z_s^{j_s}$を定義する。
• $H$-軌道の分解を可能にするために、各$i$に対して$\Lambda_i^{j_i}/S_{j_i}$を用いて$R^2$上の$H$-軌道をパrameter化する。
• 基底元$a_P \in W_i = (\mathbb{C}Z_i \otimes \mathbb{C}Z_i)^{G_i}$を用いて、テンソル積$K_\omega = K_{\omega_1}^{(1)} \otimes \cdots \otimes K_{\omega_s}^{(s)}$により隣接行列$K_\omega$を構成する。
• 代表集合とテンソル積の恒等式を用いて、生成行列$M(z) = \sum_{\omega \in R^2/H} z(\omega) K_\omega$のサイズを低減する。
• 計算の効率化のため、恒等式$(u_1 \otimes \cdots \otimes u_s)^T (K_{\omega_1}^{(1)} \otimes \cdots \otimes K_{\omega_s}^{(s)}) (v_1 \otimes \cdots \otimes v_s) = \prod_{i=1}^s u_i^T K_{\omega_i}^{(i)} v_i$を適用する。
• 符号語を$\{0,1\}$-ベクトルに写像し、接続行列$M$を構成する。$MM^T = M^T M = A$を示し、$A$が対角成分に$\mu q \cdot I_q$、非対角成分に$\mu \cdot J_q$のブロックをもつブロック行列であることを確認し、対称ネット構造を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合$Z_i$に作用する複数の群作用$G_i$を用いて、距離とサイズを制御可能な誤り訂正符号を構築できるか？
• RQ2 対称$(\mu,q)$-ネットとサイズ$\mu q^2$、長さ$n = \mu q$、最小距離$d = n - \mu$の$(n,d)_q$-符号との正確な対応関係は何か？
• RQ3 軌道空間の隣接行列はどのように分解され、多項式サイズの表現に低減できるか？
• RQ4 ネット理論的制約と符号ブロック解析を用いて、$A_4(9,6)$に対する上限をどのように導出できるか？
• RQ5 サイズ120の$(9,6)_4$-符号が31または32ブロックを含むことは可能か？その結果、最大符号サイズにどのような意味があるか？

主な発見

• 長さ$n = \mu q$、最小距離$d = n - \mu$、サイズ$\mu q^2$の符号と、対称$(\mu,q)$-ネットとの間の1対1対応が確立された。
• このような符号の接続行列$M$は、$MM^T = M^T M = A$を満たし、$A$は対角成分に$\mu q \cdot I_q$、非対角成分に$\mu \cdot J_q$のブロックをもつブロック行列である。
• 構成により、$M$が対称$(\mu,q)$-ネットの接続行列であることが確認され、逆に、ネット構造から有効な符号が得られることも示された。
• 既知の対称$(2,4)$-ネットに関する結果を用いて、$A_4(9,6) \leq 120$が新たな上限として導出された。
• コンピュータ支援の検証により、サイズ120の$(9,6)_4$-符号に31または32ブロックが存在しないことが確認され、より大きな符号は不可能であることが示された。
• 任意の$(n,d)_q$-符号がサイズ$qn - 1$、かつ$qd = (q-1)n$を満たす場合、サイズ$qn$に拡張可能であることが証明され、上限の最大性が裏付けられた。